Георгий Александров

Георгий Александров

Идеальные магические квадраты порядка n = 9 + 18 k , где k = 2, 3, 4, …

Напомню, что идеальные магические квадраты (ИМК) нечетного порядка – это одновременно пандиагональные и ассоциативные МК. В статьях http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html и http://renuar911.narod.ru/1.htm я привел два общих метода построения матриц, порядок которых n нечетный, но не кратен 3-м. Дальнейшие поиски привели к тому, что удалось скомпоновать несколько частных ИМК 9 x 9 (см. мои страницы http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html и http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html и страницу Наталии Макаровой http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm ).

Осталось только разработать методы построения ИМК для n = 9 + 6k , где k = 0, 1, 2, 3, … Но задача оказалась настолько непростой, что даже для n=15 нельзя однозначно ответить на вопрос: существует ИМК или нет ?

Тем не менее, мне удалось немного продвинуться вперед и получить общее решение для n = 9 + 18 k , где k = 2, 3, 4, … А это почти треть вариантов рассматриваемой группы ИМК. Если говорить более конкретно, то ИМК легко можно реализовать для матриц 45 x 45 , 63 x 63 , 81 x 81 , 99 x 99 , 117 x 117 … и так далее с шагом 18.

Действительно, если применить хорошо известный метод построения составного магического квадрата (см., например, http://slovari.yandex.ru/dict/krugosvet/article/krugosvet/2/1001543.htm ), то приведенные выше значения n выражаются как произведения нечетных чисел, одно из которых – девять: 45 = 9 · 5 ; 63 = 9 · 7 ; 81 = 9 · 9 ; 99 = 9 · 11 ; 117 = 9 · 13 и так далее. Видно, что сомножители - это числа, для которых идеальные магические квадраты существуют. Поэтому и составной магический квадрат тоже должен получаться идеальным. Покажем это на самом простом примере: n = 45. ИМК-5 принимаем такой:

20 8 21 14 2

11 4 17 10 23

7 25 13 1 19

3 16 9 22 15

24 12 5 18 6

Теперь выбираем ИМК-9 из моей статьи http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html и получаем следующие 25 матриц 9 x 9 , которые вставляем вместо чисел в ИМК-5:

22 80 5 56 33 66 45 10 52

69 39 18 46 25 76 8 59 29

79 4 62 32 65 42 12 54 19

38 15 48 27 73 7 58 35 68

1 61 31 71 41 11 51 21 81

14 47 24 75 9 55 34 67 44

63 28 70 40 17 50 20 78 3

53 23 74 6 57 36 64 43 13

30 72 37 16 49 26 77 2 60

103 161 86 137 114 147 126 91 133

150 120 99 127 106 157 89 140 110

160 85 143 113 146 123 93 135 100

119 96 129 108 154 88 139 116 149

82 142 112 152 122 92 132 102 162

95 128 105 156 90 136 115 148 125

144 109 151 121 98 131 101 159 84

134 104 155 87 138 117 145 124 94

111 153 118 97 130 107 158 83 141

184 242 167 218 195 228 207 172 214

231 201 180 208 187 238 170 221 191

241 166 224 194 227 204 174 216 181

200 177 210 189 235 169 220 197 230

163 223 193 233 203 173 213 183 243

176 209 186 237 171 217 196 229 206

225 190 232 202 179 212 182 240 165

215 185 236 168 219 198 226 205 175

192 234 199 178 211 188 239 164 222

265 323 248 299 276 309 288 253 295

312 282 261 289 268 319 251 302 272

322 247 305 275 308 285 255 297 262

281 258 291 270 316 250 301 278 311

244 304 274 314 284 254 294 264 324

257 290 267 318 252 298 277 310 287

306 271 313 283 260 293 263 321 246

296 266 317 249 300 279 307 286 256

273 315 280 259 292 269 320 245 303

346 404 329 380 357 390 369 334 376

393 363 342 370 349 400 332 383 353

403 328 386 356 389 366 336 378 343

362 339 372 351 397 331 382 359 392

325 385 355 395 365 335 375 345 405

338 371 348 399 333 379 358 391 368

387 352 394 364 341 374 344 402 327

377 347 398 330 381 360 388 367 337

354 396 361 340 373 350 401 326 384

427 485 410 461 438 471 450 415 457

474 444 423 451 430 481 413 464 434

484 409 467 437 470 447 417 459 424

443 420 453 432 478 412 463 440 473

406 466 436 476 446 416 456 426 486

419 452 429 480 414 460 439 472 449

468 433 475 445 422 455 425 483 408

458 428 479 411 462 441 469 448 418

435 477 442 421 454 431 482 407 465

508 566 491 542 519 552 531 496 538

555 525 504 532 511 562 494 545 515

565 490 548 518 551 528 498 540 505

524 501 534 513 559 493 544 521 554

487 547 517 557 527 497 537 507 567

500 533 510 561 495 541 520 553 530

549 514 556 526 503 536 506 564 489

539 509 560 492 543 522 550 529 499

516 558 523 502 535 512 563 488 546

589 647 572 623 600 633 612 577 619

636 606 585 613 592 643 575 626 596

646 571 629 599 632 609 579 621 586

605 582 615 594 640 574 625 602 635

568 628 598 638 608 578 618 588 648

581 614 591 642 576 622 601 634 611

630 595 637 607 584 617 587 645 570

620 590 641 573 624 603 631 610 580

597 639 604 583 616 593 644 569 627

670 728 653 704 681 714 693 658 700

717 687 666 694 673 724 656 707 677

727 652 710 680 713 690 660 702 667

686 663 696 675 721 655 706 683 716

649 709 679 719 689 659 699 669 729

662 695 672 723 657 703 682 715 692

711 676 718 688 665 698 668 726 651

701 671 722 654 705 684 712 691 661

678 720 685 664 697 674 725 650 708

751 809 734 785 762 795 774 739 781

798 768 747 775 754 805 737 788 758

808 733 791 761 794 771 741 783 748

767 744 777 756 802 736 787 764 797

730 790 760 800 770 740 780 750 810

743 776 753 804 738 784 763 796 773

792 757 799 769 746 779 749 807 732

782 752 803 735 786 765 793 772 742

759 801 766 745 778 755 806 731 789

832 890 815 866 843 876 855 820 862

879 849 828 856 835 886 818 869 839

889 814 872 842 875 852 822 864 829

848 825 858 837 883 817 868 845 878

811 871 841 881 851 821 861 831 891

824 857 834 885 819 865 844 877 854

873 838 880 850 827 860 830 888 813

863 833 884 816 867 846 874 853 823

840 882 847 826 859 836 887 812 870

913 971 896 947 924 957 936 901 943

960 930 909 937 916 967 899 950 920

970 895 953 923 956 933 903 945 910

929 906 939 918 964 898 949 926 959

892 952 922 962 932 902 942 912 972

905 938 915 966 900 946 925 958 935

954 919 961 931 908 941 911 969 894

944 914 965 897 948 927 955 934 904

921 963 928 907 940 917 968 893 951

994 1052 977 1028 1005 1038 1017 982 1024

1041 1011 990 1018 997 1048 980 1031 1001

1051 976 1034 1004 1037 1014 984 1026 991

1010 987 1020 999 1045 979 1030 1007 1040

973 1033 1003 1043 1013 983 1023 993 1053

986 1019 996 1047 981 1027 1006 1039 1016

1035 1000 1042 1012 989 1022 992 1050 975

1025 995 1046 978 1029 1008 1036 1015 985

1002 1044 1009 988 1021 998 1049 974 1032

1075 1133 1058 1109 1086 1119 1098 1063 1105

1122 1092 1071 1099 1078 1129 1061 1112 1082

1132 1057 1115 1085 1118 1095 1065 1107 1072

1091 1068 1101 1080 1126 1060 1111 1088 1121

1054 1114 1084 1124 1094 1064 1104 1074 1134

1067 1100 1077 1128 1062 1108 1087 1120 1097

1116 1081 1123 1093 1070 1103 1073 1131 1056

1106 1076 1127 1059 1110 1089 1117 1096 1066

1083 1125 1090 1069 1102 1079 1130 1055 1113

1156 1214 1139 1190 1167 1200 1179 1144 1186

1203 1173 1152 1180 1159 1210 1142 1193 1163

1213 1138 1196 1166 1199 1176 1146 1188 1153

1172 1149 1182 1161 1207 1141 1192 1169 1202

1135 1195 1165 1205 1175 1145 1185 1155 1215

1148 1181 1158 1209 1143 1189 1168 1201 1178

1197 1162 1204 1174 1151 1184 1154 1212 1137

1187 1157 1208 1140 1191 1170 1198 1177 1147

1164 1206 1171 1150 1183 1160 1211 1136 1194

1237 1295 1220 1271 1248 1281 1260 1225 1267

1284 1254 1233 1261 1240 1291 1223 1274 1244

1294 1219 1277 1247 1280 1257 1227 1269 1234

1253 1230 1263 1242 1288 1222 1273 1250 1283

1216 1276 1246 1286 1256 1226 1266 1236 1296

1229 1262 1239 1290 1224 1270 1249 1282 1259

1278 1243 1285 1255 1232 1265 1235 1293 1218

1268 1238 1289 1221 1272 1251 1279 1258 1228

1245 1287 1252 1231 1264 1241 1292 1217 1275

1318 1376 1301 1352 1329 1362 1341 1306 1348

1365 1335 1314 1342 1321 1372 1304 1355 1325

1375 1300 1358 1328 1361 1338 1308 1350 1315

1334 1311 1344 1323 1369 1303 1354 1331 1364

1297 1357 1327 1367 1337 1307 1347 1317 1377

1310 1343 1320 1371 1305 1351 1330 1363 1340

1359 1324 1366 1336 1313 1346 1316 1374 1299

1349 1319 1370 1302 1353 1332 1360 1339 1309

1326 1368 1333 1312 1345 1322 1373 1298 1356

1399 1457 1382 1433 1410 1443 1422 1387 1429

1446 1416 1395 1423 1402 1453 1385 1436 1406

1456 1381 1439 1409 1442 1419 1389 1431 1396

1415 1392 1425 1404 1450 1384 1435 1412 1445

1378 1438 1408 1448 1418 1388 1428 1398 1458

1391 1424 1401 1452 1386 1432 1411 1444 1421

1440 1405 1447 1417 1394 1427 1397 1455 1380

1430 1400 1451 1383 1434 1413 1441 1420 1390

1407 1449 1414 1393 1426 1403 1454 1379 1437

1480 1538 1463 1514 1491 1524 1503 1468 1510

1527 1497 1476 1504 1483 1534 1466 1517 1487

1537 1462 1520 1490 1523 1500 1470 1512 1477

1496 1473 1506 1485 1531 1465 1516 1493 1526

1459 1519 1489 1529 1499 1469 1509 1479 1539

1472 1505 1482 1533 1467 1513 1492 1525 1502

1521 1486 1528 1498 1475 1508 1478 1536 1461

1511 1481 1532 1464 1515 1494 1522 1501 1471

1488 1530 1495 1474 1507 1484 1535 1460 1518

1561 1619 1544 1595 1572 1605 1584 1549 1591

1608 1578 1557 1585 1564 1615 1547 1598 1568

1618 1543 1601 1571 1604 1581 1551 1593 1558

1577 1554 1587 1566 1612 1546 1597 1574 1607

1540 1600 1570 1610 1580 1550 1590 1560 1620

1553 1586 1563 1614 1548 1594 1573 1606 1583

1602 1567 1609 1579 1556 1589 1559 1617 1542

1592 1562 1613 1545 1596 1575 1603 1582 1552

1569 1611 1576 1555 1588 1565 1616 1541 1599

1642 1700 1625 1676 1653 1686 1665 1630 1672

1689 1659 1638 1666 1645 1696 1628 1679 1649

1699 1624 1682 1652 1685 1662 1632 1674 1639

1658 1635 1668 1647 1693 1627 1678 1655 1688

1621 1681 1651 1691 1661 1631 1671 1641 1701

1634 1667 1644 1695 1629 1675 1654 1687 1664

1683 1648 1690 1660 1637 1670 1640 1698 1623

1673 1643 1694 1626 1677 1656 1684 1663 1633

1650 1692 1657 1636 1669 1646 1697 1622 1680

1723 1781 1706 1757 1734 1767 1746 1711 1753

1770 1740 1719 1747 1726 1777 1709 1760 1730

1780 1705 1763 1733 1766 1743 1713 1755 1720

1739 1716 1749 1728 1774 1708 1759 1736 1769

1702 1762 1732 1772 1742 1712 1752 1722 1782

1715 1748 1725 1776 1710 1756 1735 1768 1745

1764 1729 1771 1741 1718 1751 1721 1779 1704

1754 1724 1775 1707 1758 1737 1765 1744 1714

1731 1773 1738 1717 1750 1727 1778 1703 1761

1804 1862 1787 1838 1815 1848 1827 1792 1834

1851 1821 1800 1828 1807 1858 1790 1841 1811

1861 1786 1844 1814 1847 1824 1794 1836 1801

1820 1797 1830 1809 1855 1789 1840 1817 1850

1783 1843 1813 1853 1823 1793 1833 1803 1863

1796 1829 1806 1857 1791 1837 1816 1849 1826

1845 1810 1852 1822 1799 1832 1802 1860 1785

1835 1805 1856 1788 1839 1818 1846 1825 1795

1812 1854 1819 1798 1831 1808 1859 1784 1842

1885 1943 1868 1919 1896 1929 1908 1873 1915

1932 1902 1881 1909 1888 1939 1871 1922 1892

1942 1867 1925 1895 1928 1905 1875 1917 1882

1901 1878 1911 1890 1936 1870 1921 1898 1931

1864 1924 1894 1934 1904 1874 1914 1884 1944

1877 1910 1887 1938 1872 1918 1897 1930 1907

1926 1891 1933 1903 1880 1913 1883 1941 1866

1916 1886 1937 1869 1920 1899 1927 1906 1876

1893 1935 1900 1879 1912 1889 1940 1865 1923

1966 2024 1949 2000 1977 2010 1989 1954 1996

2013 1983 1962 1990 1969 2020 1952 2003 1973

2023 1948 2006 1976 2009 1986 1956 1998 1963

1982 1959 1992 1971 2017 1951 2002 1979 2012

1945 2005 1975 2015 1985 1955 1995 1965 2025

1958 1991 1968 2019 1953 1999 1978 2011 1988

2007 1972 2014 1984 1961 1994 1964 2022 1947

1997 1967 2018 1950 2001 1980 2008 1987 1957

1974 2016 1981 1960 1993 1970 2021 1946 2004

В результате образуется ИМК-45 с магической суммой S = 45585

Вот программа, по которой были сделаны данные вычисления:

rem Построение составного магического квадрата ИМК-45

open #1,"IDEAL_9.txt","r"

open #2,"IDEAL-9.txt","w"

dim z(10,10),z1(10,10)

n=9: n0=5

for i=1 to n

for j=1 to n

input #1 z(i,j)

print z(i,j);

next j

next i

print:print

for k=0 to n0*n0-1

print #2,k+1:print #2

for i=1 to n

for j=1 to n

z1(i,j)=z(i,j)+k*n*n

print #2,z1(i,j) using "#####";

next j

print #2:print #2

next i

print #2:print #2

next k

Здесь текстовой файл"IDEAL_9.txt" имеет вид:

22 80 5 56 33 66 45 10 52

69 39 18 46 25 76 8 59 29

79 4 62 32 65 42 12 54 19

38 15 48 27 73 7 58 35 68

1 61 31 71 41 11 51 21 81

14 47 24 75 9 55 34 67 44

63 28 70 40 17 50 20 78 3

53 23 74 6 57 36 64 43 13

30 72 37 16 49 26 77 2 60

Подобным способом строятся другие ИМК группы n = 9 + 18k

20 октября 2007 г.

Москва