20

Георгий Александров

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Под термином «магический квадрат» (сокращенно МК) обычно понимают матрицу n x n , ячейки которой заполнены числами от 1 до n*n. При этом сумма в каждой строке, каждом столбце и в каждой из главных диагоналей равна магической константе 2S = n*n*n + n. Если же главные диагонали не обладают указанным свойством, то магический квадрат считается неполным. Когда же величине S соответствует и сумма чисел в каждой из ломаных диагоналей, то такой МК называется пандиагональным или дьявольским. В английском языке часто используют термин panmagic.

Когда же пандиагональный квадрат еще и ассоциативный (сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центрального числа, равна 1+n*n), то в этом случае мы имеем дело с идеальным магическим квадратом. Об одном удивительном методе построения идеального МК нечетного порядка, найденного мною в сентябре 2007 года, посвящена настоящая статья.

Я много потратил сил, чтобы выявить в доступных источниках хоть какой-нибудь ясный метод построения любых пандиагональных МК. Но максимум чего смог добиться – это найти лишь примеры готовых таблиц. По ссылке http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(200101)108%3A1%3C28-37%3ABTFPM%3E2.0.CO%3B2-2 выявил было строгое матричное решение, но оно оказалось слишком туманным для меня. То же самое обнаружено и по ссылке http://www.geocities.com/~harveyh/panmagic.htm#Order-7Pan-magicStar

Оставалось только одно – самому проанализировать готовые результаты и разработать приемлемый алгоритм построения нечетных дьявольских квадратов.

Примеров оказалось, к счастью, много. Не буду утомлять читателя муками творческого анализа с недосыпаниями и вздохами отчаянья.

Собака оказалась зарытой в ходах шахматного коня!

Какой же индус придумал замечательную фигуру, которой позволено шагать буквой Г ? Фигура эта оказалась незаурядной во многих захватывающих шахматных партиях, а для меня стала палочкой-выручалочкой, сумевшей помочь найти математическую истину.

Чтобы построить идеальный магический квадрат (n не должно быть кратным 3), достаточно выдержать следующие пять условий:

1. При выходе за пределы поля (на Рис. 1 – за пределы центральной матрицы) перенос чисел осуществляется в соответствии с упомянутым рисунком. В процессе многих построений появляется определенный навык, и расстановка чисел идет без затруднений.

Рис. 1. Центральный МК в окружении вспомогательных восьми матриц

2. Число 1 устанавливается по правую сторону от центральной ячейки.

3. Число 2 ставится так, как показано на Рис. 2

	2

1

Рис. 2. Первый ход конем.

4. Далее именно в таком направлении проставляется натуральный ряд чисел вплоть до n*n.

5. Если конечная точка какого-либо хода занята другим числом, то вместо хода конем осуществляется переход по горизонтали вправо через одну ячейку (см. Рис. 3)

	33

A		A+1

Рис. 3. Ход конем заменяется на перемещение вправо через ячейку

Пользуясь столь простыми правилами, построим несколько идеальных МК (желтым цветом обозначены нечетные числа):

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Рис. 4 Идеальный магический квадрат 5 x 5

47	23	6	31	14	39	15
10	42	18	43	26	2	34
22	5	30	13	38	21	46
41	17	49	25	1	33	9
4	29	12	37	20	45	28
16	48	24	7	32	8	40
35	11	36	19	44	27	3

Рис. 5 Идеальный магический квадрат 7 x 7

46	118	58	9	70	21	82	33	94	34	106
87	27	99	39	100	51	112	63	3	75	15
117	57	8	69	20	81	32	93	44	105	45
26	98	38	110	50	111	62	2	74	14	86
56	7	68	19	80	31	92	43	104	55	116
97	37	109	49	121	61	1	73	13	85	25
6	67	18	79	30	91	42	103	54	115	66
36	108	48	120	60	11	72	12	84	24	96
77	17	78	29	90	41	102	53	114	65	5
107	47	119	59	10	71	22	83	23	95	35
16	88	28	89	40	101	52	113	64	4	76

Рис. 7 Идеальный магический квадрат 11 x 11

116	32	130	46	131	60	145	74	159	88	4	102	18
67	165	81	10	95	24	109	38	123	52	137	53	151
31	129	45	143	59	144	73	158	87	3	101	17	115
164	80	9	94	23	108	37	122	51	136	65	150	66
128	44	142	58	156	72	157	86	2	100	16	114	30
79	8	93	22	107	36	121	50	135	64	149	78	163
43	141	57	155	71	169	85	1	99	15	113	29	127
7	92	21	106	35	120	49	134	63	148	77	162	91
140	56	154	70	168	84	13	98	14	112	28	126	42
104	20	105	34	119	48	133	62	147	76	161	90	6
55	153	69	167	83	12	97	26	111	27	125	41	139
19	117	33	118	47	132	61	146	75	160	89	5	103
152	68	166	82	11	96	25	110	39	124	40	138	54

Рис. 8 Идеальный магический квадрат 13 x 13

Ничего более прекрасного я в жизни еще не получал.

Особо хочу подчеркнуть: все представленные здесь МК – пандиагональные и ассоциативные. Они отличаются строгой симметрией рисунка относительно главных осей.

Представленный результат появился благодаря моему тесному сотрудничеству с Наталией Макаровой (см. http://www.klassikpoez.narod.ru/ ). Она более детально и всесторонне исследовала все пандиагональные и ассоциативные квадраты четвертого и пятого порядков (http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm , http://www.klassikpoez.narod.ru/assoc.htm).

Напечатано в 2007 г.

г. Москва

renuar911@yandex.ru

47	23	6	31	14	39	15
10	42	18	43	26	2	34
22	5	30	13	38	21	46
41	17	49	25	1	33	9
4	29	12	37	20	45	28
16	48	24	7	32	8	40
35	11	36	19	44	27	3

47	23	6	31	14	39	15
10	42	18	43	26	2	34
22	5	30	13	38	21	46
41	17	49	25	1	33	9
4	29	12	37	20	45	28
16	48	24	7	32	8	40
35	11	36	19	44	27	3

47	23	6	31	14	39	15
10	42	18	43	26	2	34
22	5	30	13	38	21	46
41	17	49	25	1	33	9
4	29	12	37	20	45	28
16	48	24	7	32	8	40
35	11	36	19	44	27	3