Георгий Александров

 

Идеальные магические квадраты любого нечетного порядка n > 3

Детерминированный подход

 

 Многие беспардонно воруют мои идеи, слегка видоизменяют и выдают за свои.

Э.Г.Г. Ландау

 

Вокруг меня тьма злобных завистников, но, отражая их выпады,  я  создаю  то, что им и не снилось.

Н. Тесла

 

      В моей работе http://renuar911.narod.ru/IMSb.html впервые дан самый общий метод построения идеальных магических квадратов (ИМК) нечетного порядка  n  путем движений шахматного коня. В каждом варианте делается n  групп таких движений по n ходов. После завершения любой группы ходов производится перескок через строку вниз.

Наиболее простая схема расстановки чисел, как показали тысячи примеров компоновки ИМК, наблюдается по Рис. 21 в упомянутой выше статье. Приведу еще раз полезную структуру:

 

 

 

 

     

     Данная арифметическая последовательность хороша тем, что позволяет сформировать великое множество решений. Тем не менее, по рекомендации коллег-математиков, я разработал детерминированный метод построения ИМК любого нечетного порядка. Мне посчастливилось найти бесконечную последовательность чисел для той части рисунка, где показана фигурная скобка. Не вдаваясь в глубокие теоретические исследования, покажу цепочку, начинающуюся с чисел 3   6   2  . Об этой тройке смотрите упомянутую выше статью.

            Цепочка чисел Х для заполнения пространства в области фигурной скобки не допускает каких-либо вариаций и имеет ступенчатый вид:  

 

Таблица

Цепочка чисел Х в пределах фигурной скобки Рисунка

 

 

Данная таблица – шедевр теории идеальных магических квадратов.

Белые ячейки – это значения n  , при которых  вторая строчка Таблицы не требует никакой корректировки. В данном случае нет никакой разницы между, например, n = 41  и  n = 51. Методика работает совершенно одинаково. А ведь число 51 кратно трем.

Группа 5  7  4  8  12  9 , выделенная желтым цветом, найдена простым комбинаторным анализом  всего лишь из  24-х  допустимых вариантов и оказалась единственно возможной для построения идеальных магических квадратов.  Следующая  (голубая) группа чисел – та же, что и желтая, но ее уровень на  6 единиц выше. И так далее до бесконечности. Ступеньки ряда можно продолжать строить как вручную, так и программным способом.  Столь подкупающая простота досталась мне неимоверным трудом.

            Теперь насчет значений порядка  n .  Для ячеек, закрашенных в фиолетовый цвет, нужна небольшая корректировка цепочки  X, в результате которой удастся избежать дублирования чисел. Например,  при  n = 5    решение иное: Х = 2.  Для  n = 11  вместо X = 6 нужно писать X = 4.  И так далее. Задача эта несложная и обычно сводится к замене лишь одного числа (заменяемое число показано в третьей строке Таблицы ).  Приведу пример построения цепочки для случая  n = 23. Центром цепочки будет  (1 + n)/2 = 12.  Однако, мы видим – среди значений X  в интервале n от 5 до 23 число 12 уже есть. Чтобы избежать дублирования, необходимо вместо 12 поставить число, расположенное под этой ячейкой, то есть 10.  Тогда половина цепочки станет следующей:

 

1  23  3  6  2  5  7  4  8  10  9  11  12

 

Правую ветвь достраиваем в соответствии со схемой на рисунке:

 

1  23  3  6  2  5  7  4  8  10  9  11  12  13  15  14  16  20  17  19  22  18  21

 

Как видим, в цепочке присутствуют все числа от 1 до 23 , и нигде нет повторов. Данная корректировка в программе на языке Yabasic осуществляется всего тремя командами.

Довольно интересно выглядит круговая диаграмма:

 

 

Последовательность чисел такова, что хорды почти сливаются с окружностью. Не совсем эффектно, но зато быстро и результативно.

 

Для ячеек  n ,  закрашенных в коричневый цвет, также требуется единичная корректировка в соответствии с четвертой строкой Таблицы. Например, если  n = 19 , то вместо  X = 12  нужно принять  X = 9.  Это позволит исключить пару чисел, сумма которых равна  1+n .

     Рассмотрим самый простой случай  n = 5 .  На нем максимально подробно объясню мой метод построения идеального магического квадрата. В соответствии со схемой на рисунке имеем:

 

1   5   2   3   4

 

Число 4 вычисляется так:  (n + 1)  –  2.

Мы получили последовательность чередования параметров  P1, P2, P3, P4, P5 которая в матрице реализуется ходами шахматного коня. Построим первую группу ходов:

 

 

 

 

     Число 1 , с которого начинаются ходы, должно сверху примыкать к центральной (белой) ячейке матрицы. Мы сделали n  ходов, замкнув ленту голубых ячеек. Чтобы перейти на новую ленту ходов, достаточно сделать перескок вниз через строку (бордовая ячейка):

 

 

 

 

   В этой ячейке записываем число, определяемое формулой  (P2 - 1) n + P1 = (5 – 1) · 5 + 1 = 21 .  Делаем ход конем, получаем новую бордовую ячейку и ставим число, равное  (P2 - 1) n + P2 = (5 – 1) · 5 + 5 = 25.

 

 

И так далее, на протяжении  n  ходов:

 

 

 

 

После опять делаем скачек через строку вниз и начинаем зеленую ленту чисел. Первое число:  (P3 - 1) n + P1 = (2 – 1) · 5 + 1 = 6 :

 

 

 

Следующее число:  (P3 - 1) n + P2 = (2 – 1) · 5 + 5 = 10  и так далее:

 

 

 

После зеленой ячейки 9 перескакиваем вниз на серую ячейку,  где:  (P4 - 1) n + P1 = (3 – 1) · 5 + 1 = 11.  И так далее:

 

 

По завершении конечной ячейки с числом 14 перескакиваем на желтую: (P5 - 1) n + P1 = (4 – 1) · 5 + 1 = 16.  Ходями шахматного коня завершаем комбинацию:

 

 

 

Получили идеальный магический квадрат пятого порядка. Данная технология элементарно программируется, задаваясь лишь  n = 5   и числом  2  .

 

Покажем, например, как при помощи двух маленьких программ и Таблицы построить  ИМК порядка  69.  Еще никому в мире решить подобную задачу не удалось.

Последовательность действий такова. Откроем текстовой файл с именем “69.txt” и заполним его цепочкой цифр из второй строки Таблицы  до столбца со значением  n = 69 :

 

3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33 

 

По программе:

 

rem  лента чисел для поиска ИМК69 (минимальное удаление P1)

dim p(1000)

n=69:n1=(n+1)/2:n0=(n-3)/2

open #1,"69.txt","r"

open #2,"69a.txt","w"

for i=1 to 1

for k=1 to n0:input #1 p(k+2):next k

for k=1 to n0 p(n+1-k)=n+1-p(k+2):next k

p(1)=1

p(2)=n

p(n1+1)=n1

print #2,a using "#######";

for j=1 to n:print #2,p(j) using "##";:next j:print #2

next i

 

Получаем файл “69a.txt” :

 

 

 1   69   3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33  35 37 34 38 42 39 41 43 40 44 48 45 47 49 46 50 54 51 53 55 52 56 60 57 59 61 58 62 66 63 65 68 64 67

 

Это – полная цепочка  P1, P2, … P69   в соответствии со схемой на рисунке в начале статьи.

 

Запускаем  вторую программу :

 

rem Построение идеального магического квадрата

dim p(1000),z(1000,1000)

n=69

open #2,"69a.txt","r"

open #1,"Ideal_69.txt","w"

for q=1 to 1

for r1=1 to n:input #2 p(r1):next r1

for k=1 to n

for t=1 to n

if k=1 and t=1 then j=(n+1)/2:i=(n+1)/2-1:fi

if t=1 and k>1 then i=i+2:if j<0 then j=j+n:fi:if i<0 then i=i+n:fi:fi

if t>1 then i=i+1:j=j+2:fi

rem приведение i и j к рамкам магического квадрата

v=i

a()

i=v2

v=j

a()

j=v2

z=(p(k)-1)*n+p(t):z1=int(z)

if abs(z-z1)>.9 then z=z1+1 else z=z1:fi

z(i,j)=z

next t

next k

print #1

for i=1 to n

for j=1 to n

print #1,z(i,j) using "####";

if j<>n then print #1,",";:fi

next j

print #1:print #1

next i

print #1:print #1

rem Удвоение длины МК для нахождения сумм в ломаных диагоналях

for i= 1 to n

for j=n+1 to 2*n

z(i,j)=z(i,j-n)

next j

next i

rem Построение магического квадрата удвоенной длины

for i=1 to n

for j=1 to 2*n

next j

next i

print #1, z(1,1)+z(n,n)

print "SSSSSSSSSSSSSSSSS":print #1,"SSSSSSSSSSSSSSSSS"

rem Определение сумм по строкам, столбцам и всем диагоналям

for i=1 to n:s=0:for j=1 to n:s=s+z(i,j)

next j:print s;:print #1,s;:next i:print:print #1

for j=1 to n:s=0:for i=1 to n:s=s+z(j,i)

next i:print s;:print #1,s;next j:print:print #1

Print "OOOOOOOOOO":Print #1,"OOOOOOOOOO"

for t=0 to n-1

s=0

for i=1 to n

s=s+z(i,i+t)

next i

print s;:print #1,s;

next t

print:print #1

print "WWWWWWWWW":print #1,"WWWWWWWWW"

for t=0 to n-1

s=0

for i=n to 1 step -1

s=s+z(i,n-i+1+t)

next i

print s;:print #1,s;

next t

print:print

print #1:print #1

next q

sub a()

v0=v/n:v1=int(v0):if v0<1 then v1=0:fi

v2=(v0-v1)*n:v3=int(v2)

if abs(v2-v3)>.9 then v2=v3+1 else z=v3:fi

if abs(v2)<.0000000001 then v2=n:fi

end sub

 

 

Рассчитываем мгновенно строки  ИМК-69:

 

 

3977, 789,1734,2753,4188, 510,1460,2964,4047, 236,1669,2823,3911, 445,1528,2687,4120, 304,1394,2897,3841, 101,1605,2617,3569, 381,1326,2344,3780, 171,1052,2485,3639,4727,1261,2415,3503,  37,1120,2211,3712,4588, 986,2421,3433,4385,1197,2141,3161,4665, 918,1868,3372,4455, 644,2077,3231,4319, 853,1936,3095,4528, 712,1802,3304,4249, 578,2013,3025

 

2010,3029,3981, 786,1736,2757,4185, 512,1462,2961,4049, 238,1666,2825,3913, 442,1532,2690,4117, 308,1398,2893,3845, 105,1602,2620,3573, 378,1328,2278,3777, 173,1054,2553,3641,4729,1258,2349,3505,  34,1124,2214,3709,4592, 990,2417,3437,4389,1194,2144,3165,4662, 920,1870,3369,4457, 646,2074,3233,4321, 850,1940,3097,4525, 716,1806,3301,4253, 582

 

4257, 579,2012,3033,3978, 788,1738,2754,4187, 514,1459,2963,4051, 235,1670,2828,3910, 446,1536,2686,4121, 312,1395,2896,3849, 102,1604,2554,3570, 380,1330,2346,3779, 175,1051,2487,3643,4726,1262,2352,3502,  38,1128,2210,3713,4596, 987,2420,3441,4386,1196,2146,3162,4664, 922,1867,3371,4459, 643,2078,3235,4318, 854,1944,3094,4529, 720,1803,3305

 

1805,3309,4254, 581,2014,3030,3980, 790,1735,2756,4189, 511,1463,2966,4048, 239,1674,2824,3914, 450,1533,2689,4125, 309,1397,2830,3846, 104,1606,2622,3572, 382,1327,2280,3781, 172,1055,2490,3640,4730,1266,2348,3506,  42,1125,2213,3717,4593, 989,2422,3438,4388,1198,2143,3164,4666, 919,1871,3373,4456, 647,2082,3232,4322, 858,1941,3098,4533, 717

 

4530, 719,1807,3306,4256, 583,2011,3032,3982, 787,1739,2759,4186, 515,1467,2962,4052, 243,1671,2827,3918, 447,1535,2623,4122, 311,1399,2898,3848, 106,1603,2556,3574, 379,1331,2283,3778, 176,1059,2486,3644,4734,1263,2351,3510,  39,1127,2215,3714,4595, 991,2419,3440,4390,1195,2147,3166,4663, 923,1875,3370,4460, 651,2079,3236,4326, 855,1943,3102

 

1945,3099,4532, 721,1804,3308,4258, 580,2015,3035,3979, 791,1743,2755,4190, 519,1464,2965,4056, 240,1673,2761,3915, 449,1537,2691,4124, 313,1396,2832,3850, 103,1607,2559,3571, 383,1335,2279,3782, 180,1056,2489,3648,4731,1265,2353,3507,  41,1129,2212,3716,4597, 988,2423,3442,4387,1199,2151,3163,4667, 927,1872,3374,4464, 648,2081,3240,4323, 857

 

4325, 859,1942,3101,4534, 718,1808,3311,4255, 584,2019,3031,3983, 795,1740,2758,4194, 516,1466,2899,4053, 242,1675,2829,3917, 451,1534,2625,4126, 310,1400,2835,3847, 107,1611,2555,3575, 387,1332,2282,3786, 177,1058,2491,3645,4733,1267,2350,3509,  43,1126,2216,3718,4594, 992,2427,3439,4391,1203,2148,3167,4671, 924,1874,3378,4461, 650,2083,3237

 

2080,3239,4327, 856,1946,3104,4531, 722,1812,3307,4259, 588,2016,3034,3987, 792,1742,2692,4191, 518,1468,2967,4055, 244,1672,2763,3919, 448,1538,2628,4123, 314,1404,2831,3851, 111,1608,2558,3579, 384,1334,2284,3783, 179,1060,2488,3647,4735,1264,2354,3511,  40,1130,2220,3715,4598, 996,2424,3443,4395,1200,2150,3171,4668, 926,1876,3375,4463, 652

 

4465, 649,2084,3242,4324, 860,1950,3100,4535, 726,1809,3310,4263, 585,2018,2968,3984, 794,1744,2760,4193, 520,1465,2901,4057, 241,1676,2766,3916, 452,1542,2624,4127, 318,1401,2834,3855, 108,1610,2560,3576, 386,1336,2281,3785, 181,1057,2492,3649,4732,1268,2358,3508,  44,1134,2217,3719,4602, 993,2426,3447,4392,1202,2152,3168,4670, 928,1873,3377

 

1877,3380,4462, 653,2088,3238,4328, 864,1947,3103,4539, 723,1811,3244,4260, 587,2020,3036,3986, 796,1741,2694,4195, 517,1469,2904,4054, 245,1680,2762,3920, 456,1539,2627,4131, 315,1403,2836,3852, 110,1612,2557,3578, 388,1333,2285,3787, 178,1061,2496,3646,4736,1272,2355,3512,  48,1131,2219,3723,4599, 995,2428,3444,4394,1204,2149,3170,4672, 925

 

4669, 929,1881,3376,4466, 657,2085,3241,4332, 861,1949,3037,4536, 725,1813,3312,4262, 589,2017,2970,3988, 793,1745,2697,4192, 521,1473,2900,4058, 249,1677,2765,3924, 453,1541,2629,4128, 317,1405,2833,3854, 112,1609,2561,3580, 385,1337,2289,3784, 182,1065,2493,3650,4740,1269,2357,3516,  45,1133,2221,3720,4601, 997,2425,3446,4396,1201,2153,3173

 

2157,3169,4673, 933,1878,3379,4470, 654,2087,3175,4329, 863,1951,3105,4538, 727,1810,3246,4264, 586,2021,2973,3985, 797,1749,2693,4196, 525,1470,2903,4062, 246,1679,2767,3921, 455,1543,2626,4130, 319,1402,2837,3856, 109,1613,2565,3577, 389,1341,2286,3788, 186,1062,2495,3654,4737,1271,2359,3513,  47,1135,2218,3722,4603, 994,2429,3449,4393,1205

 

4397,1209,2154,3172,4677, 930,1880,3313,4467, 656,2089,3243,4331, 865,1948,3039,4540, 724,1814,3249,4261, 590,2025,2969,3989, 801,1746,2696,4200, 522,1472,2905,4059, 248,1681,2764,3923, 457,1540,2630,4132, 316,1406,2841,3853, 113,1617,2562,3581, 393,1338,2288,3792, 183,1064,2497,3651,4739,1273,2356,3515,  49,1132,2222,3725,4600, 998,2433,3445

 

2430,3448,4401,1206,2156,3106,4674, 932,1882,3381,4469, 658,2086,3177,4333, 862,1952,3042,4537, 728,1818,3245,4265, 594,2022,2972,3993, 798,1748,2698,4197, 524,1474,2902,4061, 250,1678,2768,3925, 454,1544,2634,4129, 320,1410,2838,3857, 117,1614,2564,3585, 390,1340,2290,3789, 185,1066,2494,3653,4741,1270,2360,3518,  46,1136,2226,3721,4604,1002

 

4608, 999,2432,3382,4398,1208,2158,3174,4676, 934,1879,3315,4471, 655,2090,3180,4330, 866,1956,3038,4541, 732,1815,3248,4269, 591,2024,2974,3990, 800,1750,2695,4199, 526,1471,2906,4063, 247,1682,2772,3922, 458,1548,2631,4133, 324,1407,2840,3861, 114,1616,2566,3582, 392,1342,2287,3791, 187,1063,2498,3656,4738,1274,2364,3514,  50,1140,2223,3724

 

2225,3658,4605,1001,2434,3450,4400,1210,2155,3108,4678, 931,1883,3318,4468, 659,2094,3176,4334, 870,1953,3041,4545, 729,1817,3250,4266, 593,2026,2971,3992, 802,1747,2699,4201, 523,1475,2910,4060, 251,1686,2769,3926, 462,1545,2633,4137, 321,1409,2842,3858, 116,1618,2563,3584, 394,1339,2291,3794, 184,1067,2502,3652,4742,1278,2361,3517,  54,1137

 

  51,1139,2227,3726,4607,1003,2431,3384,4402,1207,2159,3111,4675, 935,1887,3314,4472, 663,2091,3179,4338, 867,1955,3043,4542, 731,1819,3247,4268, 595,2023,2975,3994, 799,1751,2703,4198, 527,1479,2907,4064, 255,1683,2771,3930, 459,1547,2635,4134, 323,1411,2839,3860, 118,1615,2567,3587, 391,1343,2295,3790, 188,1071,2499,3655,4746,1275,2363,3451

 

2365,3519,  53,1141,2224,3660,4609,1000,2435,3387,4399,1211,2163,3107,4679, 939,1884,3317,4476, 660,2093,3181,4335, 869,1957,3040,4544, 733,1816,3251,4270, 592,2027,2979,3991, 803,1755,2700,4202, 531,1476,2909,4068, 252,1685,2773,3927, 461,1549,2632,4136, 325,1408,2843,3863, 115,1619,2571,3583, 395,1347,2292,3793, 192,1068,2501,3589,4743,1277

 

4745,1279,2362,3453,  55,1138,2228,3663,4606,1004,2439,3383,4403,1215,2160,3110,4683, 936,1886,3319,4473, 662,2095,3178,4337, 871,1954,3044,4546, 730,1820,3255,4267, 596,2031,2976,3995, 807,1752,2702,4206, 528,1478,2911,4065, 254,1687,2770,3929, 463,1546,2636,4139, 322,1412,2847,3859, 119,1623,2568,3586, 399,1344,2294,3727, 189,1070,2503,3657

 

2500,3591,4747,1276,2366,3456,  52,1142,2232,3659,4610,1008,2436,3386,4407,1212,2162,3112,4680, 938,1888,3316,4475, 664,2092,3182,4339, 868,1958,3048,4543, 734,1824,3252,4271, 600,2028,2978,3999, 804,1754,2704,4203, 530,1480,2908,4067, 256,1684,2774,3932, 460,1550,2640,4135, 326,1416,2844,3862, 123,1620,2570,3520, 396,1346,2296,3795, 191,1072

 

 193,1069,2504,3594,4744,1280,2370,3452,  56,1146,2229,3662,4614,1005,2438,3388,4404,1214,2164,3109,4682, 940,1885,3320,4477, 661,2096,3186,4336, 872,1962,3045,4547, 738,1821,3254,4275, 597,2030,2980,3996, 806,1756,2701,4205, 532,1477,2912,4070, 253,1688,2778,3928, 464,1554,2637,4138, 330,1413,2846,3796, 120,1622,2572,3588, 398,1348,2293,3729

 

2297,3732, 190,1073,2508,3590,4748,1284,2367,3455,  60,1143,2231,3664,4611,1007,2440,3385,4406,1216,2161,3113,4684, 937,1889,3324,4474, 665,2100,3183,4340, 876,1959,3047,4551, 735,1823,3256,4272, 599,2032,2977,3998, 808,1753,2705,4208, 529,1481,2916,4066, 257,1692,2775,3931, 468,1551,2639,4072, 327,1415,2848,3864, 122,1624,2569,3522, 400,1345

 

 397,1349,2301,3728, 194,1077,2505,3593,4752,1281,2369,3457,  57,1145,2233,3661,4613,1009,2437,3389,4408,1213,2165,3117,4681, 941,1893,3321,4478, 669,2097,3185,4344, 873,1961,3049,4548, 737,1825,3253,4274, 601,2029,2981,4001, 805,1757,2709,4204, 533,1485,2913,4069, 261,1689,2777,3865, 465,1553,2641,4140, 329,1417,2845,3798, 124,1621,2573,3525

 

2577,3521, 401,1353,2298,3731, 198,1074,2507,3595,4749,1283,2371,3454,  59,1147,2230,3665,4615,1006,2441,3393,4405,1217,2169,3114,4685, 945,1890,3323,4482, 666,2099,3187,4341, 875,1963,3046,4550, 739,1822,3257,4277, 598,2033,2985,3997, 809,1761,2706,4207, 537,1482,2915,4003, 258,1691,2779,3933, 467,1555,2638,4074, 331,1414,2849,3801, 121,1625

 

 125,1629,2574,3524, 405,1350,2300,3733, 195,1076,2509,3592,4751,1285,2368,3458,  61,1144,2234,3669,4612,1010,2445,3390,4409,1221,2166,3116,4689, 942,1892,3325,4479, 668,2101,3184,4343, 877,1960,3050,4553, 736,1826,3261,4273, 602,2037,2982,4000, 813,1758,2708,4141, 534,1484,2917,4071, 260,1693,2776,3867, 469,1552,2642,4077, 328,1418,2853,3797

 

2850,3800, 129,1626,2576,3526, 402,1352,2302,3730, 197,1078,2506,3596,4753,1282,2372,3462,  58,1148,2238,3666,4616,1014,2442,3392,4413,1218,2168,3118,4686, 944,1894,3322,4481, 670,2098,3188,4346, 874,1964,3054,4549, 740,1830,3258,4276, 606,2034,2984,3934, 810,1760,2710,4209, 536,1486,2914,4005, 262,1690,2780,3870, 466,1556,2646,4073, 332,1422

 

 336,1419,2852,3802, 126,1628,2578,3523, 404,1354,2299,3734, 199,1075,2510,3600,4750,1286,2376,3459,  62,1152,2235,3668,4620,1011,2444,3394,4410,1220,2170,3115,4688, 946,1891,3326,4484, 667,2102,3192,4342, 878,1968,3051,4552, 744,1827,3260,4210, 603,2036,2986,4002, 812,1762,2707,4143, 538,1483,2918,4008, 259,1694,2784,3866, 470,1560,2643,4076

 

2645,4078, 333,1421,2854,3799, 128,1630,2575,3527, 406,1351,2303,3738, 196,1079,2514,3597,4754,1290,2373,3461,  66,1149,2237,3670,4617,1013,2446,3391,4412,1222,2167,3119,4691, 943,1895,3330,4480, 671,2106,3189,4345, 882,1965,3053,4486, 741,1829,3262,4278, 605,2038,2983,3936, 814,1759,2711,4146, 535,1487,2922,4004, 263,1698,2781,3869, 474,1557

 

 471,1559,2647,4075, 335,1423,2851,3803, 130,1627,2579,3531, 403,1355,2307,3735, 200,1083,2511,3599,4758,1287,2375,3463,  63,1151,2239,3667,4619,1015,2443,3395,4415,1219,2171,3123,4687, 947,1899,3327,4483, 675,2103,3191,4279, 879,1967,3055,4554, 743,1831,3259,4212, 607,2035,2987,3939, 811,1763,2715,4142, 539,1491,2919,4007, 267,1695,2783,3871

 

2785,3868, 473,1561,2644,4079, 337,1420,2855,3807, 127,1631,2583,3528, 407,1359,2304,3737, 204,1080,2513,3601,4755,1289,2377,3460,  65,1153,2236,3671,4622,1012,2447,3399,4411,1223,2175,3120,4690, 951,1896,3329,4417, 672,2105,3193,4347, 881,1969,3052,4488, 745,1828,3263,4215, 604,2039,2991,3935, 815,1767,2712,4145, 543,1488,2921,4009, 264,1697

 

 266,1699,2782,3872, 475,1558,2648,4083, 334,1424,2859,3804, 131,1635,2580,3530, 411,1356,2306,3739, 201,1082,2515,3598,4757,1291,2374,3464,  68,1150,2240,3675,4618,1016,2451,3396,4414,1227,2172,3122,4624, 948,1898,3331,4485, 674,2107,3190,4281, 883,1966,3056,4491, 742,1832,3267,4211, 608,2043,2988,3938, 819,1764,2714,4147, 540,1490,2923,4006

 

2920,4010, 268,1696,2786,3876, 472,1562,2652,4080, 338,1428,2856,3806, 135,1632,2582,3532, 408,1358,2308,3736, 203,1084,2512,3602,4760,1288,2378,3468,  64,1154,2244,3672,4621,1020,2448,3398,4348,1224,2174,3124,4692, 950,1900,3328,4419, 676,2104,3194,4284, 880,1970,3060,4487, 746,1836,3264,4214, 612,2040,2990,3940, 816,1766,2716,4144, 542,1492

 

 544,1489,2924,4014, 265,1700,2790,3873, 476,1566,2649,4082, 342,1425,2858,3808, 132,1634,2584,3529, 410,1360,2305,3740, 206,1081,2516,3606,4756,1292,2382,3465,  67,1158,2241,3674,4555,1017,2450,3400,4416,1226,2176,3121,4626, 952,1897,3332,4422, 673,2108,3198,4280, 884,1974,3057,4490, 750,1833,3266,4216, 609,2042,2992,3937, 818,1768,2713,4148

 

2717,4152, 541,1493,2928,4011, 269,1704,2787,3875, 480,1563,2651,4084, 339,1427,2860,3805, 134,1636,2581,3533, 413,1357,2309,3744, 202,1085,2520,3603,4759,1296,2379,3467,   1,1155,2243,3676,4623,1019,2452,3397,4350,1228,2173,3125,4629, 949,1901,3336,4418, 677,2112,3195,4283, 888,1971,3059,4492, 747,1835,3268,4213, 611,2044,2989,3941, 820,1765

 

 817,1769,2721,4149, 545,1497,2925,4013, 273,1701,2789,3877, 477,1565,2653,4081, 341,1429,2857,3809, 137,1633,2585,3537, 409,1361,2313,3741, 205,1089,2517,3605,4693,1293,2381,3469,  69,1157,2245,3673,4557,1021,2449,3401,4353,1225,2177,3129,4625, 953,1905,3333,4421, 681,2109,3197,4285, 885,1973,3061,4489, 749,1837,3265,4217, 613,2041,2993,3945

 

2997,3942, 821,1773,2718,4151, 549,1494,2927,4015, 270,1703,2791,3874, 479,1567,2650,4085, 344,1426,2861,3813, 133,1637,2589,3534, 412,1365,2310,3743, 139,1086,2519,3607,4761,1295,2383,3466,   3,1159,2242,3677,4560,1018,2453,3405,4349,1229,2181,3126,4628, 957,1902,3335,4423, 678,2111,3199,4282, 887,1975,3058,4493, 751,1834,3269,4221, 610,2045

 

 614,2049,2994,3944, 825,1770,2720,4153, 546,1496,2929,4012, 272,1705,2788,3878, 482,1564,2654,4089, 340,1430,2865,3810, 136,1641,2586,3536, 346,1362,2312,3745, 207,1088,2521,3604,4695,1297,2380,3470,   6,1156,2246,3681,4556,1022,2457,3402,4352,1233,2178,3128,4630, 954,1904,3337,4420, 680,2113,3196,4286, 889,1972,3062,4497, 748,1838,3273,4218

 

3270,4220, 618,2046,2996,3946, 822,1772,2722,4150, 548,1498,2926,4016, 275,1702,2792,3882, 478,1568,2658,4086, 343,1434,2862,3812,  70,1638,2588,3538, 414,1364,2314,3742, 141,1090,2518,3608,4698,1294,2384,3474,   2,1160,2250,3678,4559,1026,2454,3404,4354,1230,2180,3130,4627, 956,1906,3334,4424, 682,2110,3200,4290, 886,1976,3066,4494, 752,1842

 

 756,1839,3272,4222, 615,2048,2998,3943, 824,1774,2719,4154, 551,1495,2930,4020, 271,1706,2796,3879, 481,1572,2655,4088, 277,1431,2864,3814, 138,1640,2590,3535, 348,1366,2311,3746, 144,1087,2522,3612,4694,1298,2388,3471,   5,1164,2247,3680,4561,1023,2456,3406,4351,1232,2182,3127,4631, 958,1903,3338,4428, 679,2114,3204,4287, 890,1980,3063,4496

 

3065,4498, 753,1841,3274,4219, 617,2050,2995,3947, 827,1771,2723,4158, 547,1499,2934,4017, 274,1710,2793,3881, 415,1569,2657,4090, 345,1433,2866,3811,  72,1642,2587,3539, 351,1363,2315,3750, 140,1091,2526,3609,4697,1302,2385,3473,   7,1161,2249,3682,4558,1025,2458,3403,4355,1234,2179,3131,4635, 955,1907,3342,4425, 683,2118,3201,4289, 894,1977

 

 891,1979,3067,4495, 755,1843,3271,4223, 620,2047,2999,3951, 823,1775,2727,4155, 550,1503,2931,4019, 208,1707,2795,3883, 483,1571,2659,4087, 279,1435,2863,3815,  75,1639,2591,3543, 347,1367,2319,3747, 143,1095,2523,3611,4699,1299,2387,3475,   4,1163,2251,3679,4562,1027,2455,3407,4359,1231,2183,3135,4632, 959,1911,3339,4427, 687,2115,3203,4291

 

3205,4288, 893,1981,3064,4499, 758,1840,3275,4227, 616,2051,3003,3948, 826,1779,2724,4157, 484,1500,2933,4021, 276,1709,2797,3880, 417,1573,2656,4091, 282,1432,2867,3819,  71,1643,2595,3540, 350,1371,2316,3749, 145,1092,2525,3613,4696,1301,2389,3472,   8,1165,2248,3683,4566,1024,2459,3411,4356,1235,2187,3132,4634, 963,1908,3341,4429, 684,2117

 

 686,2119,3202,4292, 896,1978,3068,4503, 754,1844,3279,4224, 619,2055,3000,3950, 760,1776,2726,4159, 552,1502,2935,4018, 210,1711,2794,3884, 420,1570,2660,4095, 278,1436,2871,3816,  74,1647,2592,3542, 352,1368,2318,3751, 142,1094,2527,3610,4700,1303,2386,3476,  12,1162,2252,3687,4563,1028,2463,3408,4358,1239,2184,3134,4636, 960,1910,3343,4426

 

3340,4430, 689,2116,3206,4296, 892,1982,3072,4500, 757,1848,3276,4226, 553,2052,3002,3952, 828,1778,2728,4156, 486,1504,2932,4022, 213,1708,2798,3888, 416,1574,2664,4092, 281,1440,2868,3818,  76,1644,2594,3544, 349,1370,2320,3748, 146,1096,2524,3614,4704,1300,2390,3480,   9,1166,2256,3684,4565,1032,2460,3410,4360,1236,2186,3136,4633, 962,1912

 

 965,1909,3344,4434, 685,2120,3210,4293, 895,1986,3069,4502, 691,1845,3278,4228, 621,2054,3004,3949, 762,1780,2725,4160, 489,1501,2936,4026, 209,1712,2802,3885, 419,1578,2661,4094, 283,1437,2870,3820,  73,1646,2596,3541, 353,1372,2317,3752, 150,1093,2528,3618,4701,1304,2394,3477,  11,1170,2253,3686,4567,1029,2462,3412,4357,1238,2188,3133,4637

 

3137,4641, 961,1913,3348,4431, 688,2124,3207,4295, 829,1983,3071,4504, 759,1847,3280,4225, 555,2056,3001,3953, 765,1777,2729,4164, 485,1505,2940,4023, 212,1716,2799,3887, 421,1575,2663,4096, 280,1439,2872,3817,  77,1648,2593,3545, 357,1369,2321,3756, 147,1097,2532,3615,4703,1308,2391,3479,  13,1167,2255,3688,4564,1031,2464,3409,4361,1241,2185

 

1237,2189,3141,4638, 964,1917,3345,4433, 622,2121,3209,4297, 897,1985,3073,4501, 693,1849,3277,4229, 558,2053,3005,3957, 761,1781,2733,4161, 488,1509,2937,4025, 214,1713,2801,3889, 418,1577,2665,4093, 284,1441,2869,3821,  81,1645,2597,3549, 354,1373,2325,3753, 149,1101,2529,3617,4705,1305,2393,3481,  10,1169,2257,3685,4568,1034,2461,3413,4365

 

3417,4362,1240,2193,3138,4640, 898,1914,3347,4435, 690,2123,3211,4294, 831,1987,3070,4505, 696,1846,3281,4233, 554,2057,3009,3954, 764,1785,2730,4163, 490,1506,2939,4027, 211,1715,2803,3886, 422,1579,2662,4097, 288,1438,2873,3825,  78,1649,2601,3546, 356,1377,2322,3755, 151,1098,2531,3619,4702,1307,2395,3478,  14,1172,2254,3689,4572,1030,2465

 

1033,2469,3414,4364,1174,2190,3140,4642, 966,1916,3349,4432, 624,2125,3208,4298, 834,1984,3074,4509, 692,1850,3285,4230, 557,2061,3006,3956, 766,1782,2732,4165, 487,1508,2941,4024, 215,1717,2800,3890, 426,1576,2666,4101, 285,1442,2877,3822,  80,1653,2598,3548, 358,1374,2324,3757, 148,1100,2533,3616,4706,1310,2392,3482,  18,1168,2258,3693,4569

 

3690,4571, 967,2466,3416,4366,1242,2192,3142,4639, 900,1918,3346,4436, 627,2122,3212,4302, 830,1988,3078,4506, 695,1854,3282,4232, 559,2058,3008,3958, 763,1784,2734,4162, 491,1510,2938,4028, 219,1714,2804,3894, 423,1580,2670,4098, 287,1446,2874,3824,  82,1650,2600,3550, 355,1376,2326,3754, 152,1103,2530,3620,4710,1306,2396,3486,  15,1171,2262

 

1105,2259,3692,4573,1035,2468,3418,4363,1176,2194,3139,4643, 903,1915,3350,4440, 623,2126,3216,4299, 833,1992,3075,4508, 697,1851,3284,4234, 556,2060,3010,3955, 767,1786,2731,4166, 495,1507,2942,4032, 216,1718,2808,3891, 425,1584,2667,4100, 289,1443,2876,3826,  79,1652,2602,3547, 359,1379,2323,3758, 156,1099,2534,3624,4707,1309,2400,3483,  17

 

3485,  19,1173,2261,3694,4570, 969,2470,3415,4367,1179,2191,3143,4647, 899,1919,3354,4437, 626,2130,3213,4301, 835,1989,3077,4510, 694,1853,3286,4231, 560,2062,3007,3959, 771,1783,2735,4170, 492,1511,2946,4029, 218,1722,2805,3893, 427,1581,2669,4102, 286,1445,2878,3823,  83,1655,2599,3551, 363,1375,2327,3762, 153,1102,2538,3621,4709,1243,2397

 

1311,2399,3487,  16,1107,2263,3691,4574, 972,2467,3419,4371,1175,2195,3147,4644, 902,1923,3351,4439, 628,2127,3215,4303, 832,1991,3079,4507, 698,1855,3283,4235, 564,2059,3011,3963, 768,1787,2739,4167, 494,1515,2943,4031, 220,1719,2807,3895, 424,1583,2671,4099, 290,1448,2875,3827,  87,1651,2603,3555, 360,1378,2331,3759, 155,1036,2535,3623,4711

 

3625,4708,1245,2401,3484,  20,1110,2260,3695,4578, 968,2471,3423,4368,1178,2199,3144,4646, 904,1920,3353,4441, 625,2129,3217,4300, 836,1993,3076,4511, 702,1852,3287,4239, 561,2063,3015,3960, 770,1791,2736,4169, 496,1512,2945,4033, 217,1721,2809,3892, 428,1586,2668,4103, 294,1444,2879,3831,  84,1654,2607,3552, 362,1312,2328,3761, 157,1104,2537

 

1038,2539,3622,4712,1248,2398,3488,  24,1106,2264,3699,4575, 971,2475,3420,4370,1180,2196,3146,4648, 901,1922,3355,4438, 629,2131,3214,4304, 840,1990,3080,4515, 699,1856,3291,4236, 563,2067,3012,3962, 772,1788,2738,4171, 493,1514,2947,4030, 221,1724,2806,3896, 432,1582,2672,4107, 291,1447,2883,3828,  86,1588,2604,3554, 364,1380,2330,3763, 154

 

3760, 158,1041,2536,3626,4716,1244,2402,3492,  21,1109,2268,3696,4577, 973,2472,3422,4372,1177,2198,3148,4645, 905,1924,3352,4442, 633,2128,3218,4308, 837,1994,3084,4512, 701,1860,3288,4238, 565,2064,3014,3964, 769,1790,2740,4168, 497,1517,2944,4034, 225,1720,2810,3900, 429,1585,2676,4104, 293,1381,2880,3830,  88,1656,2606,3556, 361,1314,2332

 

1317,2329,3764, 162,1037,2540,3630,4713,1247,2406,3489,  23,1111,2265,3698,4579, 970,2474,3424,4369,1181,2200,3145,4649, 909,1921,3356,4446, 630,2132,3222,4305, 839,1998,3081,4514, 703,1857,3290,4240, 562,2066,3016,3961, 773,1793,2737,4172, 501,1513,2948,4038, 222,1723,2814,3897, 431,1519,2673,4106, 295,1449,2882,3832,  85,1590,2608,3553, 365

 

3557, 369,1313,2333,3768, 159,1040,2544,3627,4715,1249,2403,3491,  25,1108,2267,3700,4576, 974,2476,3421,4373,1185,2197,3149,4653, 906,1925,3360,4443, 632,2136,3219,4307, 841,1995,3083,4516, 700,1859,3292,4237, 566,2069,3013,3965, 777,1789,2741,4176, 498,1516,2952,4035, 224,1657,2811,3899, 433,1587,2675,4108, 292,1383,2884,3829,  89,1593,2605

 

1589,2609,3561, 366,1316,2337,3765, 161,1042,2541,3629,4717,1246,2405,3493,  22,1112,2269,3697,4580, 978,2473,3425,4377,1182,2201,3153,4650, 908,1929,3357,4445, 634,2133,3221,4309, 838,1997,3085,4513, 704,1862,3289,4241, 570,2065,3017,3969, 774,1792,2745,4173, 500,1450,2949,4037, 226,1725,2813,3901, 430,1521,2677,4105, 296,1386,2881,3833,  93

 

3837,  90,1592,2613,3558, 368,1318,2334,3767, 163,1039,2543,3631,4714,1250,2407,3490,  26,1116,2266,3701,4584, 975,2477,3429,4374,1184,2205,3150,4652, 910,1926,3359,4447, 631,2135,3223,4306, 842,2000,3082,4517, 708,1858,3293,4245, 567,2068,3021,3966, 776,1726,2742,4175, 502,1518,2951,4039, 223,1659,2815,3898, 434,1524,2674,4109, 300,1382,2885

 

1385,2889,3834,  92,1594,2610,3560, 370,1315,2336,3769, 160,1043,2545,3628,4718,1254,2404,3494,  30,1113,2270,3705,4581, 977,2481,3426,4376,1186,2202,3152,4654, 907,1928,3361,4444, 635,2138,3220,4310, 846,1996,3086,4521, 705,1861,3297,4242, 569,2002,3018,3968, 778,1794,2744,4177, 499,1452,2953,4036, 227,1662,2812,3902, 438,1520,2678,4113, 297

 

4110, 299,1387,2886,3836,  94,1591,2612,3562, 367,1319,2338,3766, 164,1047,2542,3632,4722,1251,2408,3498,  27,1115,2274,3702,4583, 979,2478,3428,4378,1183,2204,3154,4651, 911,1931,3358,4448, 639,2134,3224,4314, 843,1999,3090,4518, 707,1795,3294,4244, 571,2070,3020,3970, 775,1728,2746,4174, 503,1455,2950,4040, 231,1658,2816,3906, 435,1523,2682

 

1525,2679,4112, 301,1384,2888,3838,  91,1595,2614,3559, 371,1323,2335,3770, 168,1044,2546,3636,4719,1253,2412,3495,  29,1117,2271,3704,4585, 976,2480,3430,4375,1187,2207,3151,4655, 915,1927,3362,4452, 636,2137,3228,4311, 845,1933,3087,4520, 709,1863,3296,4246, 568,2004,3022,3967, 779,1731,2743,4178, 507,1451,2954,4044, 228,1661,2820,3903, 437

 

3905, 439,1522,2681,4114, 298,1388,2890,3835,  95,1599,2611,3563, 375,1320,2339,3774, 165,1046,2550,3633,4721,1255,2409,3497,  31,1114,2273,3706,4582, 980,2483,3427,4379,1191,2203,3155,4659, 912,1930,3366,4449, 638,2071,3225,4313, 847,2001,3089,4522, 706,1797,3298,4243, 572,2007,3019,3971, 783,1727,2747,4182, 504,1454,2958,4041, 230,1663,2817

 

1660,2819,3907, 436,1526,2683,4111, 302,1392,2887,3839,  99,1596,2615,3567, 372,1322,2343,3771, 167,1048,2547,3635,4723,1252,2411,3499,  28,1118,2276,3703,4586, 984,2479,3431,4383,1188,2206,3159,4656, 914,1864,3363,4451, 640,2139,3227,4315, 844,1935,3091,4519, 710,1800,3295,4247, 576,2003,3023,3975, 780,1730,2751,4179, 506,1456,2955,4043, 232

 

4045, 229,1664,2821,3904, 440,1530,2680,4115, 306,1389,2891,3843,  96,1598,2619,3564, 374,1324,2340,3773, 169,1045,2549,3637,4720,1256,2414,3496,  32,1122,2272,3707,4590, 981,2482,3435,4380,1190,2140,3156,4658, 916,1932,3365,4453, 637,2073,3229,4312, 848,1938,3088,4523, 714,1796,3299,4251, 573,2006,3027,3972, 782,1732,2748,4181, 508,1453,2957

 

1457,2959,4042, 233,1668,2818,3908, 444,1527,2684,4119, 303,1391,2895,3840,  98,1600,2616,3566, 376,1321,2342,3775, 166,1049,2552,3634,4724,1260,2410,3500,  36,1119,2275,3711,4587, 983,2416,3432,4382,1192,2208,3158,4660, 913,1866,3367,4450, 641,2076,3226,4316, 852,1934,3092,4527, 711,1799,3303,4248, 575,2008,3024,3974, 784,1729,2750,4183, 505

 

4180, 509,1461,2956,4046, 237,1665,2822,3912, 441,1529,2688,4116, 305,1393,2892,3842, 100,1597,2618,3568, 373,1325,2345,3772, 170,1053,2548,3638,4728,1257,2413,3504,  33,1121,2209,3708,4589, 985,2484,3434,4384,1189,2142,3160,4657, 917,1869,3364,4454, 645,2072,3230,4320, 849,1937,3096,4524, 713,1801,3300,4250, 577,2005,3026,3976, 781,1733,2752

 

1737,2749,4184, 513,1458,2960,4050, 234,1667,2826,3909, 443,1531,2685,4118, 307,1390,2894,3844,  97,1601,2621,3565, 377,1329,2341,3776, 174,1050,2551,3642,4725,1259,2347,3501,  35,1123,2277,3710,4591, 982,2418,3436,4381,1193,2145,3157,4661, 921,1865,3368,4458, 642,2075,3234,4317, 851,1939,3093,4526, 715,1798,3302,4252, 574,2009,3028,3973, 785

 

Контрольные проверки показали, что перед нами – идеальный магический квадрат 69 х 69

 

            Поставленная мною цель – найти единый подход к построению идеальных магических квадратов любого нечетного порядка – выполнена полностью. Найденные цепочки чисел P1, P2, … Pn  позволили сделать то, что совсем недавно казалось невероятным. Например,  только вчера я скомпоновал ИМК 2001, относящийся к самому сложному типу  n = 3 (6k+7), где k = 110.  Для распечатки строк мне понадобились 455 машинописных страниц. Время счета -  всего 0,56 сек.  А, как известно, скорость достижения результата есть основной показатель простоты и качества метода.

 

Что может быть лучше идеального? Ничего!

 

4 декабря 2007 г.

Москва