Георгий Александров

 

Идеальные магические квадраты.

Общий метод построения

 

Безупречен метод, дающий  идеальные решения

А.Колмогоров

 

Даже очень сложный метод, но единственный, что дает решение, я назову прекрасным.

К.Гаусс

 

Халат можно сшить из отдельных лоскутов, но лучше - из цельной, красивой ткани.

Восточная мудрость

 

Потребность критиковать ведет к потере способностей.

Спиноза

 

Идеальным магическим квадратом (ИМК) порядка n принято считать пандиагональный и одновременно ассоциативный МК. В нем магическая сумма, равная  0,5n(1 + n·n) , дополнительно соблюдается по всем  ломаным диагоналям, а каждая пара центрально противолежащих чисел дают в сумме 1+n·n. Пока известны  ИМК нечетного порядка, начиная с n = 5. Исключение составляли два случая: n = 3(6k+5)  и n = 3(6k+7)  , где  k = 0, 1, 2 , … , то есть было неясно -  существуют ли, например, ИМК15 или ИМК21?

До настоящего времени  отсутствовал универсальный принцип компоновки идеальных магических квадратов. Разными авторами были разработаны лишь частные приемы. Утвердилось мнение, будто при отмеченных двух случаях  должны применяться особые, пока еще неизвестные, алгоритмы. 

Тем не менее, я всегда стоял на позиции, что обязательно должен существовать единый подход к формированию идеальных магических квадратов любого нечетного порядка  n > 3  .

 

И этот подход был, наконец, мною найден 14 ноября 2007 г.

 

 Метод позволяет производить множество групп  ИМК порядка  n = 2k+1  , где  k = 2, 3, 4, …

 В данной статье поставлена цель доказать эффективность построения  идеальных магических квадратов, в том числе и  15 х 15 ,  являющегося серьезным камнем преткновения для специалистов в этой области.

Раз мы задумали получить ассоциативный квадрат, то сразу можем поместить на центральном столбце три числа будущего идеального магического квадрата 15 х 15.

Самая верхняя ячейка – это  1

В самой нижней записываем   n · n  = 225 .

Центральная ячейка всего квадрата  - очевидно,   0,5 (1 + n · n )  = 113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

  [ Примечание. Крайние числа можно сближать к центру и тем самым  добавить еще  0,5(n-1) – 1  схем расчета.]

 

Первая лента чисел  P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15   (голубые ячейки)  производится ходом шахматного коня, как показано на Рис. 2.  Затем осуществляется скачек на две клетки вниз и начинается вторая лента (бордовые ячейки). При этом число в первой бордовой клетке равно

   (P2 - 1) n + P1,  во второй  (P2 - 1) n + P2  и так далее. Третья лента начнется с числа  (P3 – 1) n + P1  и так далее…

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P4

 

P5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P8

113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P12

 

P13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P15

 

225

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Мы приняли  P1 = 1.  Однако у нас есть еще два конкретных числа : 113  и 225. Следовательно, имеется возможность определить  Pv  и  Pw  , зная траекторию расстановки чисел. Чтобы найти индексы  v  и   w  , достаточно  центральный столбец чисто формально представить так:

 

 

P1

1

P9

2

P2

3

P10

4

P3

5

P11

6

P4

7

P12

8

P5

9

P13

10

P6

11

P14

12

P7

13

P15

14

P8

15

 

Рис. 3

 

Закономерность  Pj , где индекс  j = 1, 2, 3, …, n ,   очень простая – натуральный числовой ряд пишется через одну ячейку.  Справа дана колонка с нумерацией строк.  Мы видим, что  v = 12  и   w = 8  и, принимая во внимание лишь желтые ячейки, записываем:

 

P1   =  1

P12 =  8

P8   = 15

 

Теперь циклическую цепочку    P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15  организуем так, чтобы центральная  P12   оказалась в центре строки:

 

P5   P6   P7   P8   P9   P10   P11   P12   P13   P14   P15    P1    P2    P3    P4

 

 

Относительно  P12   значения остальных параметров должны быть симметричными по величине. Это необходимое, хотя и далеко недостаточное, условие существования пандиагонального квадрата.

Записываем  очевидные уравнения:

 

P12 – P13  = P11 P12

P13 – P14  = P10 – P11

P14 – P15  =   P9 – P10

P15 –   P1  =   P8 – P9

  P1 –   P2  =   P7 – P8

  P2 –   P3  =    P6 – P7

  P3    P4  =    P5 – P6

 

Решаем эту систему в математическом редакторе Maple: 

 

 

 solve({p12-p13=p11-p12,p13-p14=p10-p11,p14-p15=p9-p10,p15-p1=p8-p9,p1-p2=p7-p8,p2-p3=p6-p7,p3-p4=p5-p6,p1=1,p8=15,p12=8},[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15]);

 

 

Получилось следующее:

 

 

Свободно варьируемые переменные:  P5 , P6 , P7 , P9 , P10 , P11

Зависимые переменные:  

                                               P2 = 16 – P7

                                              P3 = 16 – P6

                                              P4 = 16 – P5                                ( А )

                                            P13 = 16 – P11

                                            P14 = 16 – P10

                                            P15 = 16 – P9

 

Жестко заданные константы:  P1 = 1 ,   P8 = 15 ,   P12 = 8 .

 

 

  P5 , P6 , P7 , P9 , P10 , P11  должны быть строго различными и набираться из любых чисел от   2  до 14, за исключением  8 .

Еще одно важное ограничение - не должно быть двух чисел, сумма которых равна 16.  Систему уравнений можно не решать, если воспользоваться закольцованной графической схемой:

 

 

 

Рис. 4

 

Назначение цветных кружков:

Красные – это уже найденные конкретные параметры  P1, P8, P12. 

Желтые – это свободные варьируемые числа из набора от 2 до 14, за исключением  8 (выбранные числа не должны повторяться!).

Зеленые – это величины, зависимые от свободных (желтых)  чисел.  Двухсторонние стрелки показывают, какие пары чисел связаны друг с другом арифметическими формулами вида (А), Стрелки идут параллельно центральной красной линии, проведенной через P1 и (в данном конкретном случае) - P8 , характеризующей самое большое число в идеальном магическом квадрате. Желтые и зеленые цвета (но не обозначения ! ) могут меняться местами, причем одновременно все. Если такой обмен осуществлен, то это будет соответствовать следующей эквивалентной записи уравнений симметрии:

 

P12 – P13  = P11 – P12

P12 – P14  = P10 – P12

P12 – P15  =   P9 – P12

P12 –   P1  =   P8 – P12

P12 –   P2  =   P7 – P12

P12 –   P3  =   P6 – P12

P12    P4  =   P5 – P12

 

Количество как желтых, так и зеленых параметров одинаково и равно

 

0,5 (n – 3)

 

Данная схема применима к любым нечетным  n > 3  и  полностью избавляет нас от составления большого числа линейных уравнений с последующим их решением.. Связь между сопряженными парами желтых и зеленых параметров – легче и не придумаешь:

 

                                                      Pa  +  Pb  = n+1

 

В нашем случае  n + 1 = 16 .   

 

 

Внимание!  Тот же результат мы получим, если примем за основу Рис.3. и в качестве свободных параметров возьмем те, что оказались в голубых ячейках. Параметры, помещенные в зеленых ячейках, будем вычислять по формулам вида (А), строго соблюдая зеркальность относительно  P12 :

 

P5 = 16 – P4

P13 = 16 – P11

P6 = 16 – P3

P14 = 16 – P10

P7 = 16 – P2

P15 = 16 – P9

 

 

 

 Вот в принципе и вся суть задачи нахождения идеальных магических квадратов 15 х 15 . Решим конкретный вариант.

 

           Если из допустимого набора чисел  2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14  выбрать, например, такие:

 

P5 = 2

P6 = 3

P7 = 6

P9 = 5

P10 = 7

P11 = 4

 

то  оставшиеся 6 параметров окажутся равными:

 

  P2 = 16 – P7   = 16 – 6 = 10

  P3 = 16 – P6   = 16 – 3 = 13

  P4 = 16 – P5   = 16 – 2 = 14

P13 = 16 – P11 = 16 – 4 = 12

P14 = 16 – P10 = 16 – 7 = 9

P15 = 16 – P9   = 16 – 5 = 11

 

Имеем в итоге следующую цепочку   P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15 :

 

1  10  13  14  2  3  6  15  5  7  4  8  12  9  11

 

Начертим окружность с 15-ю точками и соединим эти числа последовательно:

 

 

 

Рис. 5

 

Хорошо видно, что рисунок строго симметричный относительно вертикали, проведенной через точку  8.  Угадать столь сложный путь какими-либо логическими соображениями практически невозможно. Это все равно, что подобрать шесть – девять цифр кода сейфа из набора двенадцати чисел. У меня составлена программа, позволяющая из тысяч кандидатов на решение, выбрать именно решения (для ИМК, у которых порядок матрицы не кратен трем, подобной выборки делать нет смысла - все варианты являются решениями задачи).

Зная код цепочки, уже не представляет особого труда построить идеальный магический квадрат методом движения шахматного коня с перескоками вниз через ячейку:

 

 

 

 

133

  96

  34

 146

 179

  75

  23

   1

 107

 215

 207

 160

  48

  82

 189

  79

 191

 134

 105

  38

 136

 167

  65

  27

  10

 108

 217

 204

 163

  51

 164

  60

  83

 181

 122

  95

  42

 145

 168

  67

  24

  13

 111

 214

 206

 218

 196

 152

  50

  87

 190

 123

  97

  39

 148

 171

  64

  26

  14

 120

   2

 110

 222

 205

 153

  52

  84

 193

 126

  94

  41

 149

 180

  68

  16

  72

  25

   3

 112

 219

 208

 156

  49

  86

 194

 135

  98

  31

 137

 170

 138

 172

  69

  28

   6

 109

 221

 209

 165

  53

  76

 182

 125

 102

  40

  99

  43

 141

 169

  71

  29

  15

 113

 211

 197

 155

  57

  85

 183

 127

 186

 124

 101

  44

 150

 173

  61

  17

   5

 117

 220

 198

 157

  54

  88

  56

  89

 195

 128

  91

  32

 140

 177

  70

  18

   7

 114

 223

 201

 154

 210

 158

  46

  77

 185

 132

 100

  33

 142

 174

  73

  21

   4

 116

 224

 106

 212

 200

 162

  55

  78

 187

 129

 103

  36

 139

 176

  74

  30

   8

  20

  12

 115

 213

 202

 159

  58

  81

 184

 131

 104

  45

 143

 166

  62

 175

  63

  22

   9

 118

 216

 199

 161

  59

  90

 188

 121

  92

  35

 147

  37

 144

 178

  66

  19

  11

 119

 225

 203

 151

  47

  80

 192

 130

  93

 

Рис. 6

 

 

Это -  пандиагональный и ассоциативный магический квадрат пятнадцатого порядка, или ИМК15 . С такой же легкостью я  находил  ИМК21,  ИМК23,…, ИМК33,…, ИМК39…

Повторюсь еще раз: если порядок n  кратен 3  (как в рассматриваемом нами примере), то не для любых свободно варьируемых переменных существуют решения. Именно это я и имел в виду, когда выше говорил о недостаточности обеспечения одной только симметрии кругового графика на Рис. 5.  Хотя, правда, полный перебор перестановок чисел позволяет находить довольно много желанных матриц.

 

Изложенным методом  при  n = 5  было найдено 2  вида  ИМК; при  n = 7   -  8 видов, при  n = 9  -  4   различных ИМК, при  n = 11  -  408 ,  а  уже при n = 15   -  ровно 1024 положительных результата (я же построил “только”  32  ИМК-15).. Количество  ИМК21 уже 110592.

 

Приведу еще один красивый пример идеального магического квадрата 15 x 15 :

 

 

 

Рис. 7

 

 

148

82

32

131

207

75

53

1

109

215

179

159

18

96

190

92

191

147

90

38

121

199

65

59

9

108

216

175

163

22

162

30

98

181

139

80

44

129

198

66

55

13

112

212

176

218

166

154

20

104

189

138

81

40

133

202

62

56

12

120

4

110

224

174

153

21

100

193

142

77

41

132

210

68

46

74

54

3

111

220

178

157

17

101

192

150

83

31

124

200

123

201

70

58

7

107

221

177

165

23

91

184

140

89

39

85

43

127

197

71

57

15

113

211

169

155

29

99

183

141

187

137

86

42

135

203

61

49

5

119

219

168

156

25

103

26

102

195

143

76

34

125

209

69

48

6

115

223

172

152

180

158

16

94

185

149

84

33

126

205

73

52

2

116

222

106

214

170

164

24

93

186

145

88

37

122

206

72

60

8

50

14

114

213

171

160

28

97

182

146

87

45

128

196

64

204

63

51

10

118

217

167

161

27

105

188

136

79

35

134

36

130

208

67

47

11

117

225

173

151

19

95

194

144

78

 

Рис. 8

 

Продемонстрируем свойства пандиагональности и ассоциативности этой матрицы:

 

 

 

Рис. 9

 

 

Сумма чисел по любой ломаной диагонали (см., например, либо красную, либо зеленую линию на Рис. 9)  равна магическому значению 1695.  Числа в синих кружках 175 и 51, которые симметрично расположены  относительно центра 113 ,  образуют сумму  226;  точно такую же сумму обеспечивают центрально противолежащие числа 7 и 219  (в серых кружках). Данным свойством обладают все  0,5 (n · n – 1)  пары чисел матрицы. Центральная ячейка, сложенная сама с собой, также дает число 226.

 

Конечно, крайне интересно приведенные выше примеры подвергнуть различным преобразованиям, в ходе которых получились бы новые четно-нечетные мозаики идеальных магических квадратов. Возможно, в процессе такой благородной работы и выявится самый базовый ИМК – единственный и неповторимый.

 

С целью более полного понимания предложенной модели применим описанную методику для ИМК9 , но с несколько иной начальной схемой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10

 

Попытаемся в рамках принятого ограничения найти все решения, которые позволит дать мой метод . Строим центральный столбец:

 

P4

1

 

P9

2

 

P5

3

 

P1

4

1

P6

5

 

P2

6

9

P7

7

 

P3

8

 

P8

9

 

 

 

Рис. 11

 

По этой схеме определяем значения трех параметров:  P1 = 1 ,  P6 = 5 ,  P2 = 9 .

Свойства остальных  Pj  выявим, рассмотрев круговую структуру:

 

 

 

Рис. 12

 

 

Отсюда видно, что свободные параметры - это  P3, P4, P5  ( желтые кружочки) , а остальные (зеленые)   зависимые параметры, определяемые по формулам:

 

P9 = 10 – P3

P8 = 10 – P4

P7 = 10 – P5

 

Свободные параметры можно заполнять любыми числами из набора 2,  3,  4, 6, 7, 8 . Для существенного сокращения числа вариантов, из этого набора смело исключаем пары  4 и 6 ,  3  и 7  , 2  и  8  ( их сумма равна  10, что приведет к неизбежному дублированию чисел в полной цепочке).  

Если распределять числа только по возрастанию, то возможны 8 вариантов:

 

2    3    4

2    3    6

2    4    7

2    6    7

3    4    8

3    6    8

4    7    8

6    7    8

Каждая тройка чисел допускает 3! = 6 перестановок. Поэтому общее число допустимых комбинаций  P3, P4, P5   равно 48.  Из них лишь четыре тройки оказались решениями поставленной задачи:   3   8   4    ,   7   8   4  ,   3   6   2   ,   7   6   2  . Я это выявил путем проверки всех 48  вариаций. Возможно, существуют какие-то строгие связи между найденными тройками чисел и порядком  n . Если их обнаружить, то задача еще более упростится.

 

Цепочки чисел  следующие:  

 1 9 3 8 4 5 6 2 7

 1 9 7 8 4 5 6 2 3

 1 9 3 6 2 5 8 4 7

 1 9 7 6 2 5 8 4 3

 

 

Рассмотрим решения более детально.

 

 

1 9 3 8 4 5 6 2 7

 

 

Рис. 13

 

 

 

 

 

30

  46

  56

  77

  71

  45

  16

   6

  22

   2

  23

  35

  54

  61

  78

  67

  39

  10

  44

  18

   7

  24

  31

  48

  55

  74

  68

  79

  69

  40

  12

   1

  20

  32

  53

  63

  49

  57

  73

  65

  41

  17

   9

  25

  33

  19

  29

  50

  62

  81

  70

  42

  13

   3

  14

   8

  27

  34

  51

  58

  75

  64

  38

  72

  43

  15

   4

  21

  28

  47

  59

  80

  60

  76

  66

  37

  11

   5

  26

  36

  52

 

Рис. 14

 

 

 

1 9 7 8 4 5 6 2 3

 

 

 

Рис. 15

 

 

 

34

  46

  20

  77

  71

  45

  12

   6

  58

   2

  59

  35

  54

  21

  78

  67

  43

  10

  44

  18

   3

  60

  31

  52

  19

  74

  68

  75

  69

  40

  16

   1

  56

  32

  53

  27

  49

  25

  73

  65

  41

  17

   9

  57

  33

  55

  29

  50

  26

  81

  66

  42

  13

   7

  14

   8

  63

  30

  51

  22

  79

  64

  38

  72

  39

  15

   4

  61

  28

  47

  23

  80

  24

  76

  70

  37

  11

   5

  62

  36

  48

 

Рис. 16

 

 

1 9 3 6 2 5 8 4 7

 

 

Рис. 17

 

 

 

 

12

  64

  58

  77

  51

  45

  34

   8

  20

   4

  23

  15

  72

  61

  80

  47

  39

  28

  42

  36

   7

  26

  11

  66

  55

  76

  50

  79

  53

  38

  30

   1

  22

  14

  69

  63

  65

  57

  73

  49

  41

  33

   9

  25

  17

  19

  13

  68

  60

  81

  52

  44

  29

   3

  32

   6

  27

  16

  71

  56

  75

  46

  40

  54

  43

  35

   2

  21

  10

  67

  59

  78

  62

  74

  48

  37

  31

   5

  24

  18

  70

 

Рис. 18

 

 

 

1 9 7 6 2 5 8 4 3

 

 

Рис. 19

 

 

 

  16

  64

  22

  77

  51

  45

  30

   8

  56

   4

  59

  15

  72

  21

  80

  47

  43

  28

  42

  36

   3

  62

  11

  70

  19

  76

  50

  75

  53

  38

  34

   1

  58

  14

  69

  27

  65

  25

  73

  49

  41

  33

   9

  57

  17

  55

  13

  68

  24

  81

  48

  44

  29

   7

  32

   6

  63

  12

  71

  20

  79

  46

  40

  54

  39

  35

   2

  61

  10

  67

  23

  78

  26

  74

  52

  37

  31

   5

  60

  18

  66

 

 

Рис.  20

 

 

Анализ примеров построения ИМК9  позволяет сформулировать компактный способ выбора нужных цепочек чисел, который сводится к чисто арифметической задаче. Покажем это в самом общем виде:

 

 

Рис. 21

 

С точки зрения программирования данная  задача является элементарной.

Ценность методики заключается в возможности находить все идеальные магические квадраты, получаемые ходами шахматного коня  (их количество каждый раз равно  n ) с последующим перескоком через строку вниз.

 

 

Проверим схему на Рис. 21 при составлении  ИМК15

 

Если согласно данной схеме рассчитать варианты P3, P4, P5, P6, P7, P8  по возрастанию величин, то  по программе:

 

rem Определение числа вариантов ИМК-15

open #1,"15-N_var.txt","w"

dim p(100),t(100),t1(100)

n=15:n1=(n-3)/2

rem Формирование чисел, участвующих в перестановках

for i=1 to n-2:if i<=n1 then:p(i)=i+1:fi

if i>n1+1 then:p(i-1)=i+1:fi:next i

for i=1 to n-3:print p(i);:next i:print:print

rem все возможные варианты чисел в порядке возрастания

for i1=1 to n1+1

for i2=i1+1 to n1+2

for i3=i2+1 to n1+3

for i4=i3+1 to n1+4

for i5=i4+1 to n1+5

for i6=i5+1 to n1+6

rem Блок фильтрации ненужных пар чисел, дающих в сумме n+1

k=0

t(1)=p(i1):t(2)=p(i2):t(3)=p(i3):t(4)=p(i4):t(5)=p(i5):t(6)=p(i6)

for i=1 to n1:t1(i)=t(i):next i

for i=1 to n1:for j=1 to n1

if i<>j then:if t(i)+t(j)=n+1 then k=1:fi:fi:next j:next i

if k<>1 then s=s+1:print s;:print #1,s;:print #1,",";

for i=1 to n1:print t(i);:print #1,t(i);:if i<>n1 then print #1,",";:fi:next i:print:print #1:fi

next i6:next i5:next i4:next i3:next i2:next i1

 

получим 64 варианта.

 

 

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P3

P4

P5

P6

P7

P8

1

2

3

4

5

6

7

33

3

4

5

6

7

14

2

2

3

4

5

6

9

34

3

4

5

6

9

14

3

2

3

4

5

7

10

35

3

4

5

7

10

14

4

2

3

4

5

9

10

36

3

4

5

9

10

14

5

2

3

4

6

7

11

37

3

4

6

7

11

14

6

2

3

4

6

9

11

38

3

4

6

9

11

14

7

2

3

4

7

10

11

39

3

4

7

10

11

14

8

2

3

4

9

10

11

40

3

4

9

10

11

14

9

2

3

5

6

7

12

41

3

5

6

7

12

14

10

2

3

5

6

9

12

42

3

5

6

9

12

14

11

2

3

5

7

10

12

43

3

5

7

10

12

14

12

2

3

5

9

10

12

44

3

5

9

10

12

14

13

2

3

6

7

11

12

45

3

6

7

11

12

14

14

2

3

6

9

11

12

46

3

6

9

11

12

14

15

2