Георгий Александров

Магические квадраты регулярного вида

В статье http://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат приведен следующий базовый пандиагональный квадрат:

Мне пришла в голову счастливая мысль рассмотреть это чудо математики в цифровом поле, выложенном из матриц 4х4, которые заполняются натуральным рядом чисел.

Результат превзошел все ожидания:

Оказалось, что все строки пандиагонального магического квадрата формируются на диагонально расположенных ячейках. Важно только установить закономерности чередования диагоналей и направления, по которым нужно считывать числа.

Мой старый знакомый Николай Орделли попросил некоторые полумагические квадраты привести к магическим перестановками строк. Каково же было мое удивление, когда я обнаружил тесную связь между приведенным выше решением для МК 4х4 и древними исследованиями великих математиков!

Я обнаружил множество красивых замкнутых узоров, следуя которым, легко формируются магические квадраты порядка 4k.

Для облегчения задачи, мной отработаны три легко запоминающиеся схемы чередования диагоналей. Например, для формирования МК порядка 12 :

Каждое число здесь – пара двух симметричных ортогональных диагоналей. Было обнаружено, что по Схеме 1 МК12 построить невозможно. Однако, для двух остальных схем решения есть.

Вот как выглядит узор в соответствии со Схемой 2:

Магический квадрат, полученный по линиям этого узора, следующий:

МК 12 по Схеме 2:

1 24 35 46 57 68 79 90 101 112 123 134

143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 12

62 51 40 29 18 7 140 129 118 107 96 73

84 85 98 111 124 137 6 19 32 45 58 71

121 144 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

119 106 93 80 67 54 41 28 15 2 133 132

14 3 136 125 114 103 92 81 70 59 48 25

36 37 50 63 76 89 102 115 128 141 10 23

97 120 131 142 9 20 31 42 53 64 75 86

95 82 69 56 43 30 17 4 135 122 109 108

38 27 16 5 138 127 116 105 94 83 72 49

60 61 74 87 100 113 126 139 8 21 34 47

Точно так же можно получить второй вариант:

МК 12 по Схеме 3:

1 24 35 46 57 68 79 90 101 112 123 134

143 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 12

62 51 40 29 18 7 140 129 118 107 96 73

84 85 98 111 124 137 6 19 32 45 58 71

121 144 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

119 106 93 80 67 54 41 28 15 2 133 132

38 27 16 5 138 127 116 105 94 83 72 49

60 61 74 87 100 113 126 139 8 21 34 47

97 120 131 142 9 20 31 42 53 64 75 86

95 82 69 56 43 30 17 4 135 122 109 108

14 3 136 125 114 103 92 81 70 59 48 25

36 37 50 63 76 89 102 115 128 141 10 23

Для МК16 все три схемы дают решения:

МК 16 по Схеме 1:

1 32 47 62 77 92 107 122 137 152 167 182 197 212 227 242

255 238 221 204 187 170 153 136 119 102 85 68 51 34 17 16

18 3 244 229 214 199 184 169 154 139 124 109 94 79 64 33

48 49 66 83 100 117 134 151 168 185 202 219 236 253 14 31

225 256 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210

223 206 189 172 155 138 121 104 87 70 53 36 19 2 241 240

50 35 20 5 246 231 216 201 186 171 156 141 126 111 96 65

80 81 98 115 132 149 166 183 200 217 234 251 12 29 46 63

193 224 239 254 13 28 43 58 73 88 103 118 133 148 163 178

191 174 157 140 123 106 89 72 55 38 21 4 243 226 209 208

82 67 52 37 22 7 248 233 218 203 188 173 158 143 128 97

112 113 130 147 164 181 198 215 232 249 10 27 44 61 78 95

161 192 207 222 237 252 11 26 41 56 71 86 101 116 131 146

159 142 125 108 91 74 57 40 23 6 245 228 211 194 177 176

114 99 84 69 54 39 24 9 250 235 220 205 190 175 160 129

144 145 162 179 196 213 230 247 8 25 42 59 76 93 110 127

МК 16 по Схеме 2: