Глава 13. В которой  мы с Андрюшей

изучаем  задачи  Бхаскары

 

Значение индийской науки для Запада невозможно переоценить. Большинство великих открытий и изобретений, которыми гордится Европа, были бы невозможны без созданной в Индии математической системы. Если говорить о влиянии, которое оказал на мировую историю неизвестный математик, изобретший новую систему, и о его аналитическом даре, его можно считать самым значительным после Будды человеком, которого когда-либо знала Индия. Средневековые индийские математики, такие как Брахмагупта (VII в.), Махавира (IX в.), Бхаскара (XII в.), в свою очередь, сделали открытия, которые стали известны в Европе только в эпоху Ренессанса и позднее. Они оперировали положительными и отрицательными величинами, изобрели изящные способы извлечения квадратного и кубического корней, они умели решать квадратные уравнения и некоторые типы неопределенных уравнений. Арь-ябхата вычислил приблизительное значение числа  π ,  которым пользуются и сегодня и которое является выражением дроби  62832/20000 , то есть  3,1416.  Это значение, гораздо более точное, чем вычисленное греками, доведено индийскими математиками до девятого десятичного знака. Они сделали ряд открытий в тригонометрии, сферической геометрии и исчислении бесконечно малых, в основном связанных с астрономией. Брахмагупта дошел в изучении неопределенных уравнений дальше того, что Европа узнала к XVIII в. В средневековой Индий прекрасно понимали математическую взаимосвязанность ноля (шунья) и бесконечности. Бхаскара, опровергая своих предшественников, утверждавших, что x / 0 = x, доказал, что результат — бесконечность.

- Давай, Андрюшенька, поговорим о великом индийском математике, имя которого Бхаскара Ачарья.  Родился он в 1114 году, умер в возрасте 71 года. Вот его единственный дошедший до нас портрет:

 

 

Его основной труд «Венец учения», или в ином переводе, - «Венец систем», - состоял из четырех частей:

1) «Лилавати» - посвящена арифметике;

2) «Биждаганита» - алгебре;

3) «Голадхайя» - геометрии на сфере;

4) «Гранхаганита» - теории планетарных движений.

 

 

Эта первая часть   в 1816 году была напечатана в Калькутте и с тех пор неоднократно переиздавалась в качестве учебника математики для религиозных школ.

Интересно также отметить, что Бхаскаре принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя.

- Деда, а такие двигатели есть? Ну, которые вечно двигаются.

- Нет, увы… Ни один из проектов, - а их навыдумывали наверное тысячи, - не оказался вечным. Вечно на земле только ветер дует, волны бушуют,  реки текут, Земля вращается и Солнце печет.

- И сколько времени они бушуют и пекут?

- Несколько миллионов лет – это точно! Но ближе к делу. На чем я остановился? Ах, да!  Наш герой-индус был еще и мыслителем. Вот один из его афоризмов: «Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с нею видят в ней средство к пониманию всего существующего».

- Деда! Вот ты все вокруг, да около. А что он в математике хорошего сделал, кроме того что икс на ноль равно бесконечности?

- Во-первых,  составил много задач, которые выражал в стихотворной форме.

- Зачем в стихотворной?

- Чтобы легче было запоминать условие. Если вызубрить, то задачи будешь помнить на всю жизнь.

- Какую задачу его ты вызубрил?

- Вообще-то ни одной, но вот только что нашел условие задачи про обезьянок.

- Ой, прочти мне про обезьянок!

- Слушай:

Забавляясь, обезьяны на две группы разделились:

Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвились,

А двенадцать хором пели, на любимом сидя месте,

Сосчитайте, сколько в роще обезьянок было вместе

 

- Ты знаешь, как ее решать?

- Погоди, Андрюшенька. Я и понять никак задачу не могу. Задачу главное понять, иначе никогда не решишь.

- Давай тогда потом решим, когда делать будет нечего.

- Как скажешь. Не забудь только про нее мне напомнить. Теперь о конкретных примерах из области арифметики. Вот какие связи Бхаскара  умел находить:

 

 

 

 

- Ух, ты! Ничего себе! Как это он научился так здорово упрощать?

- Давай, внучек, подумаем.  Я сам как-то не вижу пути к решениям… Наверное, вот что: возведи-ка в квадрат правую часть последнего тождества в Maple. Только вычисления делай под функцией factor , чтобы система раскрывала скобки.

- Одну минуточку, дедуля. Вот так?

 

factor((sqrt(2)+sqrt(3))^2);

 

- Да, все верно. Можешь кликать.

- Во! Получилось не совсем то:

 

 

- Андрюшенька! Но это же то же самое, что и     . Перемножь три числа и убедись.

- И правда! Ах вот как изобретал свои примерчики этот хитрый Бха….  Как ты его называл?

- Бхаскара.  Ты, внучек,  прав! Давай и первый разберем с таких же позиций. Найдем произведение знаменателя дроби с ответом:

 

 

- Сейчас быстренько перемножу:

 

factor((5+sqrt(3))*(3*sqrt(2)+sqrt(3)));

 

Вот  что  отпринтовалось:

 

 

Ой, смотри, деда! Первое слагаемое - это корень из 450, второе – корень из 75, ну и так далее. То есть определили один к одному числитель дроби! Да я таких примеров могу хоть сто двадцать тысяч придумать! Ну и хитер, этот Бха… Никак не запомню сложную фамилию.

 

- А вот, Андрюшенька ,  -  интересная   ссылка:  http://reslib.com/book/Algebra_i_teoriya_chisel__Sbornik_zadach_dlya_matematicheskih_shkol/71

Тут есть есть пункт   5.23 :

Задача Бхаскары.  Упростите выражение:

 

 

Ответы, наверное, в конце книги, но попытаемся упростить. Ведь задача для школьников, хотя  и  особых  школьников  - будущих математиков!  Попробуем  такое сами решить?

- Давай, попробуем!

- Задача похожа на тот пример, где мы возводили в квадрат правую часть. Тут, по всей вероятности, тоже сумма квадратных корней. Но сколько их, этих корней?  Предположим, что их три:

 

 

В Maple легко найдем квадрат правой части:

 

expand((sqrt(A)+sqrt(B)+sqrt(C))^2);

 

 

Поскольку у нас три неизвестных параметра, то составим систему трех уравнений:

 

Решаем эту систему:

 

 solve({A+B+C=10,4*A*B=24,4*A*C=40},[A,B,C]);

 

Принимаем   .

Проверим, дают ли эти числа четвертое подкоренное выражение 60:

 

 

- Ура! Андрюша, мы нашли решение!  Значит, записываем так:

 

 

Смотрим ответ… Все верно! Ох, и  молотки  мы с тобой!

 

В общем случае, тождество  Бхаскары выглядит красиво:

 

 

Теперь можно составить хоть два миллиона подобных числовых  примеров!

 

- Деда! У меня идея! Ты иди погуляй, а я тебе задам такую формулу, которую ты ни за что не упростишь. Хорошо?

- Согласен! Мне как раз нужно починить колесо у тачки. Кажется, камера продырявилась…

 

- Как дела, математик-вундеркинд?

- Вот, почти готово. Но ты не смотри, а то увидишь ответ, а я этого не хочу.

- Да я и не смотрю. Подожду уж…

- Гляди, дедуля! Такого ты еще не встречал:

 

 

- Нуу-у!  Такое даже сам Бхаскара  не упростил бы  за семьдесят лет. Я же и подавно  не буду  пытаться. Говори  уж, как получил.

- Правую часть принял такую:

 

 

А дальше сам хорошо знаешь как, да что.

- Неплохо, внучек! Очень интересное исследование провел.

- Деда, помнишь задачку про обезьян? Давай ее тоже решать.

- Для начала ее поймем хотя бы. Ее лучше еще раз прочитать:

 

Забавляясь, обезьяны на две группы разделились:

Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвились,

А двенадцать хором пели, на любимом сидя месте,

Сосчитайте, сколько в роще обезьянок было вместе

 

- Деда, я буду рассуждать. Тут две группы обезьян. В сумме они дают  икс. Теперь рассмотрим каждую из двух групп. В первой количество равно    , во второй 12. Следовательно:

 

Кажется, правильно. Осталось  только решить это квадратное уравнение. Будут тогда два корня. Итак, решаю:

 

solve((x/8)^2+12=x,x);

 

Ой, деда! Обезьян может быть 48, а может и 16. Какое принять?

- Раз результаты положительные и целые, то оба ответы верные.  В роще могло быть 16 , а могло и все 48. Ведь никаких ограничений в задаче не указано. Вот если бы, например, была к задаче приписка: мол, обезьян было не больше 20, то верным оказался бы только первый ответ.

- Ясно!  И тут наш Бхаскара  умудрился  схитрить!  Принимай, сколько хочешь…

 

 

16  апреля  2011 г.