Георгий  Александров

Простое и практически точное

выражение для числа  e

 

Из всех школьных предметов больше всего я любил математику. Так же, как и многие мои одноклассники. Получилось это благодаря тому, что  «царицу наук» нам преподавала Людмила Ефремовна Карманова – замечательный педагог и  человек.

Помимо основной программы она увлекала нас удивительными открытиями  Пифагора,  Евклида, Эратосфена,  Диофанта, Архимеда,  Виета, Валлиса, Гаусса, Эйлера,  Галуа, Лобачевского, Рамануджана, Виноградова,  Колмогорова и других. Также показала необычный мир чисел, среди которых звездами первой величины сияют  всемирные  константы   π   и   e .  Какие же это были годы?  Наверняка 1965 – 1968.  Московская средняя школа номер 713.

На одном из уроков Людмила Ефремовна предложила всем на досуге изобрести как можно более короткую, но все же относительно точную формулу для расчета числа Эйлера  e . Она привела несколько удачных примеров, которые я  сейчас и не вспомню - ведь прошло уже почти 40 лет.  Единственное, что отчетливо врезалось в память:  точность вычислений не превышала  трех-четырех значащих цифр.

Как же увлекла нас эта задача! У моей мамы был арифмометр «Феликс»,  и с ним я не расставался ни на минуту!  Все колдовал над числами.

Первые блины были комом. Формулы получались громоздкими и страшно некрасивыми.  Карманова  терпеливо  разъясняла нам явные промахи и несуразицы, ставила более четкие цели и поясняла примечательность творчества  настоящих  математиков, показывая новые интересные примеры.

Более-менее приличные результаты стали появляться лишь через неделю. При каждой удаче того, или иного ученика Людмила Ефремовна выписывала формулу на доске и подробно  анализировала ее.  Для оценки эффективности  каждого выражения  k , она предложила следующее соотношение

 где   t – количество верных значащих цифр  в приближенном значении  e ;

          n – количество  цифр в предлагаемой  формуле.

 Параметр  t  принят в квадрате, дабы подчеркнуть значимость  именно  точности рассматриваемой константы.

Первая моя удачная попытка имела вид:

 = 2,718291464…

        Здесь  t = 5  и  n = 8 .  Тогда  эффективность

Число  0,0618  взято из  ”золотого  сечения” , уменьшенного в десять раз.

По мнению преподавателя, хотя результат совсем неплохой, но  довольно велико отношение    -  то есть число цифр в формуле почти в два раза больше количества верных знаков в  e . Идеально было бы получить  n < t .

Три дня я еще провозился с арифмометром, пока не вывел уже действительно  замечательную  формулу:

 = 2,718281915…            (1)

Здесь  уже  t = 7  ,  n = 4.

Коэффициент  k  имеет  рекордное значение

 

Увидев  такое,  Людмила Ефремовна  попросила меня вспомнить, как же удалось  прийти к столь красивому результату?

Я посмотрел свои черновики, вышел к доске и поведал о процессе своего открытия.  Сначала пришла мысль оперировать только нечетными числами. Черновой вариант выглядел так:

 

 =

Здесь были всего лишь две верные цифры.  Стал манипулировать с числами, возводя их в целые и дробные степени. И вдруг  обнаружил:

2,718281915…

Чтобы уменьшить количество цифр в формуле  n  сделал простейшие преобразования,  получив  формулу  (1).

На следующий день и этот рекорд  k = 12,25  мне удалось побить. Я заметил, что  последнее приближение отличается от точного значения  e  на 

Тут уж вспомнилось: число   0,866… - это приблизительно синус 60 градусов, то есть   .  Моментально сразу сформировалось  улучшенное решение:

         (2)

Одиннадцать верных значащих цифр! Слыханное ли дело?

Эффективность:

Превзойти мои результаты   [формулы  (1) и (2) ]  так и никому  тогда не удалось.

Если говорить о математической  красоте, то  (2)  можно  записать так:

 

 

 

 

Спасибо Вам, дорогая Людмила Ефремовна!

г. Москва

2000 г.