Георгий Александров
Построение идеального магического
квадрата из двух латинских квадратов
Есть люди, которые бьются лбом о стенку и кричат о помощи. Вот для таких я показываю, как надо решать простые задачи.
А. Эйнштейн
Поставим цель построить идеальный магический квадрат порядка, скажем, 15. Можно рассмотреть и n = 33, и n = 69 … Какой угодно. Главное, чтобы была известна цепь Александрова (ЦА). Для n = 15 ЦА следующая:
1 15 3
6 2 5
7 4 8
12 9 11
14 10 13 (А)
Построим ту же последовательность, в которой каждое число на единицу меньше:
0
14 2 5
1 4 6
3 7 11
8 10 13
9 12 (B)
С этой-то цепочкой и будем
сейчас работать. Строим матрицу 15 х 15, Выделяем центральный столбец, находим
центральную ячейку (желтая). Над этой желтой ячейкой
ставим 0 . Ходом шахматного коня дублируем нули (всего их должно быть,
естественно n штук). А теперь очень просто – через строку
вниз каждый столбец заполняем второй цепочкой чисел (B). Это первый латинский квадрат
(назовем его i.)
|
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
|
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
|
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
|
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
|
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
|
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
|
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
|
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
|
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
|
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
|
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
|
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
11 |
4 |
|
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
2 |
9 |
|
2 |
9 |
11 |
4 |
14 |
13 |
7 |
1 |
0 |
10 |
3 |
5 |
12 |
8 |
6 |
Второй латинский квадрат j строим точно так же, но нули строятся ходом коня
лесенкой вверх (если смотреть слева направо).
|
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
|
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
|
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
|
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
|
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
|
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
|
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
|
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
|
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
|
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
|
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
|
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
|
4 |
11 |
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
|
9 |
2 |
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
|
6 |
8 |
12 |
5 |
3 |
10 |
0 |
1 |
7 |
13 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
Сумма
n*i+j+1 даст
идеальный магический квадрат.
Например, если для левой верхней ячейки i = 8 , а j = 12 , то в идеальном магическом квадрате будет стоять число 15 * 8 + 12 + 1 = 133.
Для построения идеальных магических квадратов четного порядка схема построения латинских квадратов тоже простая. Пусть n = 12. Цепь Александрова:
1 12 7 10 9 5 11 2 8 4 3 6 (A1)
За вычетом единицы:
0 11 6 9 8 4 10 1 7 3 2 5 (B1)
Первая строка матрицы i – это целиком цепочка (В1). Вторая строка – та же цепочка , но со сдвигом вправо на 2 ячейки. И так далее до конца последней строки.
|
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
|
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
|
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
|
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
|
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
|
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
|
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
|
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
|
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
|
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
8 |
4 |
|
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
6 |
9 |
|
6 |
9 |
8 |
4 |
10 |
1 |
7 |
3 |
2 |
5 |
0 |
11 |
В матрице j верхний левый ноль дублируется так: три хода вправо, два хода вниз. Далее, с каждой нулевой ячейки ходами шахматного коня проставляется цепочка (В1) - слева направо и вниз. Такая же цепочка наблюдается по диагоналям налево вверх.
|
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
|
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
|
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
|
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
|
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
|
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
|
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
|
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
|
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
|
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
|
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
10 |
7 |
2 |
0 |
6 |
8 |
|
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
9 |
4 |
1 |
3 |
5 |
11 |
Теперь, если i = 11, j = 6 (вторая ячейка слева в самой верхней строке), то в идеальном магическом квадрате будет стоять число 12*11+6+1 = 139 .
Разработанные мной два правила годятся для всех допустимых ИМК четного и нечетного порядков.
Сидней
1 июля 2008 г.