Георгий Александров

 

Идеальные магические квадраты.

Общий метод построения

 

Безупречен метод, дающий  идеальные решения

А.Колмогоров

 

Халат можно сшить из отдельных лоскутов, но лучше - из цельной, красивой ткани.

Восточная мудрость

 

Идеальным магическим квадратом (ИМК) порядка n принято считать пандиагональный и одновременно ассоциативный МК. В нем магическая сумма, равная  0,5n(1 + n·n)  , дополнительно соблюдается по всем  ломаным диагоналям, а каждая пара центрально противолежащих чисел дает в сумме 1+n·n. Пока известны  ИМК нечетного порядка, начиная с n = 5. Исключение составляли два случая: n = 3(6k+5)  и n = 3(6k+7)  , где  k = 0, 1, 2 , … , то есть было неясно -  существуют ли, например, ИМК15 или ИМК21?

До настоящего времени  отсутствовал универсальный принцип компоновки идеальных магических квадратов. Разными авторами были разработаны лишь частные приемы. Утвердилось мнение, будто при отмеченных двух случаях  должны применяться особые, пока еще неизвестные, алгоритмы. 

Тем не менее, я всегда стоял на позиции, что обязательно должен существовать единый подход к формированию идеальных магических квадратов любого нечетного порядка  n > 3  .

И этот подход был, наконец, мною найден 14 ноября 2007 г.

 

 Метод позволяет производить множество групп  ИМК порядка  n = 2k+1  , где  k = 2, 3, 4, …

 В данной статье поставлена цель доказать эффективность построения  идеальных магических квадратов, в том числе и  15 х 15 ,  являющегося серьезным камнем преткновения для специалистов в этой области.

Раз мы задумали получить ассоциативный квадрат, то сразу можем поместить на центральном столбце три числа будущего идеального магического квадрата 15 х 15.

Самая верхняя ячейка – это  1

В самой нижней записываем   n · n  = 225 .

Центральная ячейка всего квадрата  - очевидно,   0,5 (1 + n · n )  = 113

 

 

 

Рис. 1

 

  [ Примечание. Крайние числа можно сближать к центру и тем самым  добавить еще  0,5(n-1) – 1  схем расчета.]

 

Первая лента чисел  P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15   (голубые ячейки)  производится ходом шахматного коня, как показано на Рис. 2.  Затем осуществляется скачек на две клетки вниз и начинается вторая лента (бордовые ячейки). При этом число в первой бордовой клетке равно

   (P2 - 1) n + P1,  во второй  (P2 - 1) n + P2  и так далее. Третья лента начнется с числа  (P3 – 1) n + P1  и так далее…

 

 

 

Рис. 2

 

Мы приняли  P1 = 1.  Однако у нас есть еще два конкретных числа : 113  и 225. Следовательно, имеется возможность определить  Pv  и  Pw  , зная траекторию расстановки чисел. Чтобы найти индексы  v  и   w  , достаточно  центральный столбец чисто формально представить так:

 

 

 

Рис. 3

 

Закономерность  Pj , где индекс  j = 1, 2, 3, …, n ,   очень простая – натуральный числовой ряд пишется через одну ячейку.  Справа дана колонка с нумерацией строк.  Мы видим, что  v = 12  и   w = 8  и, принимая во внимание лишь желтые ячейки, записываем:

 

P1   =  1

P12 =  8

P8   = 15

 

Теперь циклическую цепочку    P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15  организуем так, чтобы центральная  P12   оказалась в центре строки:

 

P5   P6   P7   P8   P9   P10   P11   P12   P13   P14   P15    P1    P2    P3    P4

 

 

Относительно  P12   значения остальных параметров должны быть симметричными по величине. Это необходимое, хотя и далеко недостаточное, условие существования пандиагонального квадрата.

Записываем  очевидные уравнения:

 

P12 – P13  = P11 – P12

P13 – P14  = P10 – P11

P14 – P15  =   P9 – P10

P15 –   P1  =   P8 – P9

  P1 –   P2  =   P7 – P8

  P2 –   P3  =    P6 – P7

  P3  –  P4  =    P5 – P6

 

Решаем эту систему в математическом редакторе Maple: 

 

 

 solve({p12-p13=p11-p12,p13-p14=p10-p11,p14-p15=p9-p10,p15-p1=p8-p9,p1-p2=p7-p8,p2-p3=p6-p7,p3-p4=p5-p6,p1=1,p8=15,p12=8},[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15]);

 

 

Получилось следующее:

 

 

  P5 , P6 , P7 , P9 , P10 , P11  должны быть строго различными и набираться из любых чисел от   2  до 14, за исключением  8 .

Еще одно важное ограничение - не должно быть двух чисел, сумма которых равна 16. Систему уравнений можно не решать, если воспользоваться закольцованной графической схемой:

 

 

 

Рис. 4

 

Назначение цветных кружков:

Красные – это уже найденные конкретные параметры  P1, P8, P12. 

Желтые – это свободные варьируемые числа из набора от 2 до 14, за исключением  8 (выбранные числа не должны повторяться!).

Зеленые – это величины, зависимые от свободных (желтых)  чисел.  Двухсторонние стрелки показывают, какие пары чисел связаны друг с другом арифметическими формулами вида (А), Стрелки идут параллельно центральной красной линии, проведенной через P1 и (в данном конкретном случае) - P8 , характеризующей самое большое число в идеальном магическом квадрате. Желтые и зеленые цвета (но не обозначения ! ) могут меняться местами, причем одновременно все. Если такой обмен осуществлен, то это будет соответствовать следующей эквивалентной записи уравнений симметрии:

 

P12 – P13  = P11 – P12

P12 – P14  = P10 – P12

P12 – P15  =   P9 – P12

P12 –   P1  =   P8 – P12

P12 –   P2  =   P7 – P12

P12 –   P3  =   P6 – P12

P12  –  P4  =   P5 – P12

 

Количество как желтых, так и зеленых параметров одинаково и равно

 

0,5 (n – 3)

 

Данная схема применима к любым нечетным  n > 3  и  полностью избавляет нас от составления большого числа линейных уравнений с последующим их решением.. Связь между сопряженными парами желтых и зеленых параметров - легче и не придумаешь:

 

                                                      Pa  +  Pb  = n+1

 

В нашем случае  n + 1 = 16 .   

 

 Вот в принципе и вся суть задачи нахождения идеальных магических квадратов 15 х 15 . Решим конкретный вариант.

 

           Если из допустимого набора чисел  2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14  выбрать, например, такие:

 

P5 = 2

P6 = 3

P7 = 6

P9 = 5

P10 = 7

P11 = 4

 

то  оставшиеся 6 параметров окажутся равными:

 

  P2 = 16 – P7   = 16 – 6 = 10

  P3 = 16 – P6   = 16 – 3 = 13

  P4 = 16 – P5   = 16 – 2 = 14

P13 = 16 – P11 = 16 – 4 = 12

P14 = 16 – P10 = 16 – 7 = 9

P15 = 16 – P9   = 16 – 5 = 11

 

Имеем в итоге следующую цепочку   P1 ,  P2 ,  P3 ,  . . . ,  P15 :

 

1  10  13  14  2  3  6  15  5  7  4  8  12  9  11

 

Начертим окружность с 15-ю точками и соединим эти числа последовательно:

 

 

 

Рис. 5

 

Хорошо видно, что рисунок строго симметричный относительно вертикали, проведенной через точку  8.  Угадать столь сложный путь какими-либо логическими соображениями практически невозможно. Это все равно, что подобрать шесть – девять цифр кода сейфа из набора двенадцати чисел. У меня составлена программа, позволяющая из тысяч кандидатов на решение, выбрать именно решения (для ИМК, у которых порядок матрицы не кратен трем, подобной выборки делать нет смысла - все варианты являются решениями задачи).

Зная код цепочки, уже не представляет особого труда построить идеальный магический квадрат методом движения шахматного коня с перескоками вниз через ячейку:

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

 

Это -  пандиагональный и ассоциативный магический квадрат пятнадцатого порядка, или ИМК15 . С такой же легкостью я  находил  ИМК21,  ИМК23,…, ИМК33,…, ИМК39…

Повторюсь еще раз: если порядок n  кратен 3  (как в рассматриваемом нами примере), то не для любых свободно варьируемых переменных существуют решения. Именно это я и имел в виду, когда выше говорил о недостаточности обеспечения одной только симметрии кругового графика на Рис. 5.  Хотя, правда, полный перебор перестановок чисел позволяет находить довольно много желанных матриц.

 

Изложенным методом  при  n = 5  было найдено 2  вида  ИМК; при  n = 7   -  8 видов, при  n = 9  -  4 различных ИМК , при n=11 – 384, а  уже при n = 15  ожидаются тысячи положительных результатов (я же построил “только”  32  ИМК-15).. Количество  ИМК21 исчисляется миллионами.

 

Приведу еще один красивый пример идеального магического квадрата 15 x 15 :

 

Рис. 7

 

 

 

Рис. 8

 

Продемонстрируем свойства пандиагональности и ассоциативности этой матрицы:

 

 

 

Рис. 9

 

 

Сумма чисел по любой ломаной диагонали (см., например, либо красную, либо зеленую линию на Рис. 9)  равна магическому значению 1695. Числа в синих кружках 175 и 51, которые симметрично расположены  относительно центра 113 ,  образуют сумму  226;  точно такую же сумму обеспечивают центрально противолежащие числа 7 и 219  (в серых кружках). Данным свойством обладают все  0,5(n*n – 1)  пары чисел матрицы. Центральная ячейка, сложенная сама с собой, также дает число 226.

 

Конечно, крайне интересно приведенные выше примеры подвергнуть различным преобразованиям, в ходе которых получились бы новые четно-нечетные мозаики идеальных магических квадратов. Возможно, в процессе такой благородной работы и выявится самый базовый ИМК – единственный и неповторимый.

 

С целью более полного понимания предложенной модели применим описанную методику для ИМК9 , но с несколько иной начальной схемой:

 

 

 

Рис. 10

 

Попытаемся в рамках принятого ограничения найти все решения, которые позволит дать мой метод . Строим центральный столбец:

 

 

 

Рис. 11

 

По этой схеме определяем значения трех параметров:  P1 = 1 ,  P6 = 5 ,  P2 = 9 .

Свойства остальных  Pj  выявим, рассмотрев круговую структуру:

 

 

 

Рис. 12

 

 

Отсюда видно, что свободные параметры - это  P3, P4, P5  ( желтые кружочки) , а остальные (зеленые)  –  зависимые параметры, определяемые по формулам:

 

P9 = 10 – P3

P8 = 10 – P4

P7 = 10 – P5

 

Свободные параметры можно заполнять любыми числами из набора 2,  3,  4, 6, 7, 8 . Для существенного сокращения числа вариантов, из этого набора смело исключаем пары  4 и 6 ,  3  и 7  , 2  и  8  ( их сумма равна  10, что приведет к неизбежному дублированию чисел в полной цепочке).  

Если распределять числа только по возрастанию, то возможны 8 вариантов:

 

2    3    4

2    3    6

2    4    7

2    6    7

3    4    8

3    6    8

4    7    8

6    7    8

Каждая тройка чисел допускает 3! = 6 перестановок. Поэтому общее число допустимых комбинаций  P3, P4, P5   равно 48.  Из них лишь четыре тройки оказались решениями поставленной задачи:   3   8   4    ,   7   8   4  ,   3   6   2   ,   7   6   2  . Я это выявил путем проверки всех 48  вариаций. Возможно, существуют какие-то строгие связи между найденными тройками чисел и порядком  n . Если их обнаружить, то задача еще более упростится.

 

Цепочки чисел  следующие:  

 1 9 3 8 4 5 6 2 7

 1 9 7 8 4 5 6 2 3

 1 9 3 6 2 5 8 4 7

 1 9 7 6 2 5 8 4 3

 

 

Рассмотрим решения более детально.

 

 

1 9 3 8 4 5 6 2 7

 

 

Рис. 13

 

 

 

 

 

 

Рис. 14

 

 

 

1 9 7 8 4 5 6 2 3

 

 

 

Рис. 15

 

 

 

 

Рис. 16

 

 

1 9 3 6 2 5 8 4 7

 

 

Рис. 17

 

 

 

 

 

Рис. 18

 

 

 

1 9 7 6 2 5 8 4 3

 

 

Рис. 19

 

 

 

 

 

Рис.  20

 

 

Анализ примеров построения ИМК9  позволяет сформулировать компактный способ выбора нужных цепочек чисел, который сводится к чисто арифметической задаче. Покажем это в самом общем виде:

 

 

Рис. 21

 

С точки зрения программирования данная  задача является элементарной.

Ценность методики заключается в возможности находить все идеальные магические квадраты, получаемые ходами шахматного коня с перескоками через строку.

 

 

17 ноября 2007 г

Москва