Георгий  Александров

Число  e

Число  e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… (последовательность  A001113  в  OEIS)

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также других разделах математики.

Существует много математических  выражений  для  вычисления этой важной константы. Некоторые из них можно посмотреть  в  http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_E  .

         Автор поставил перед собой цель найти число  e  в виде бесконечного произведения.  Как, например,  для числа  π  ( формула  Валлиса) :

 

       

В математике  хорошо известна следующая зависимость:

 

 

Чтобы получить число  e , достаточно правую часть первой формулы поделить на правую часть второй формулы. Однако такое действие делает формулу не очень красивой.  Поэтому попытаемся видоизменить второе соотношение. Составим сначала числовой ряд:

 

 

Группируя члены с нечетными и четными степенями, получим:

 

 

Теперь уже степени упростились, появились общие элементы с формулой Валлиса. После несложных преобразований будем иметь:

 

 

В этой формуле есть логика:  если показатель степени за скобкой просто 2, то в скобках имеем полиномы первой степени; если же показатель степени 2k , то в скобках имеем полиномы второй степени. В каждом случае числитель и знаменатель отличаются лишь на единицу.

Проверим точность вычислений  в системе  Maple:

 

 e:=evalf(product((2*k/(2*k-1))^2*((2*k^2+k-1)/(2*k^2+k))^(2*k),k=1..infinity),55);

E:=evalf(exp(1),55);

 

 e := 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959575

 E := 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959575

 

Итак, полная идентичность.

 

Москва

2000 г.